Question

Calcule a seguinte integral usando integração de potências trigonométricas

Answer 1

Olá, siga a explicação:

Sendo a integral exposta:

$\int\limits cos^{6} (x) dx$

Aderimos a relação n, a par:

$cos^{2} (x)= \frac{1+cos(2x)}{2}$

Aplicando tal em integral:

Nos sabemos de:

$cos(x)= \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$

E isso:

$(a+b)^6= a^6+6a^5b+15a^4b^2+20a^3b^3+15a^2b^4+6ab^5+b^6$

Utilizando este recurso, temos:

$cos^6(x)= (\frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} ) ^6 \\ \\ = \frac{1}{2^6} [ (e^{ix}) ^6 + 6 (e^{ix} )^{5} e^{-ix}+ 15 ( e^{ix} ) ^4 ( e^{-ix} ) ^2 \\ \\ +20 (e^{ix} ) ^3 ( e ^{-ix} ) ^3 + 15 (e^{ix} ) ^2 ( e^{-ix} ) ^4 \\ \\ +6 ( e^{ix}) ^5 e^{-ix} + ( e^{-ix} ) ^6 ] \\ \\ = \frac{1}{2^6} [ e^{i6x} + 6e^{i4x} + 15 ^{i2x} + 20 \\ \\ + 15 e ^{-i2x} + 6e ^{-i4x} + e ^{-i6x}] \\ \\ \frac{1}{2^6} [ ( e^{i6x} + e^{-i6x} ) + 6( e^{i4x} + e^{-i4x} ) + 15 ( e^{i2x} + e^{-i2x} ) + 20 ]$

$= \frac{1}{32} cos(6x) + \frac{3}{16} cos (4x)+ \frac{15}{32} cos (2x) + \frac{5}{16}$

Transformando a integral:

$\int\limits cos ^6 (x) dx= \int\limits [ \frac{1}{32} cos (6x) + \frac{3}{16} cos (4x) + \frac{15}{32} cos (2x) + \frac{5}{16} ] dx \\ \\ = \frac{1}{192} sen (6x) + \frac{3}{64} sen (4x) + \frac{15}{64} sen (2x) + \frac{5}{16} x + C$

• Att. MatiasHP