Question

Calcule a seguinte integral:

$\displaystyle\int \sqrt{1-x^2}\cdot dx$

Answer 1

Resolução da questão, vejamos:

Resolver a integral indefinida:

$\displaystyle\int \sqrt{1-x^2}\cdot dx$

Nesta integral vamos executar uma substituição trigonométrica que segue a seguir:

x = sin(u) => u = arcsin(x);

dx = cos(u) du

Vejamos:
$\displaystyle\int \sqrt{1-x^2}\cdot dx\\\\\\\ \displaystyle\int~cos(u)\sqrt{1-sin^2(u)}~du$

Agora para agilizar nossos cálculos, vamos expressar 1 - sin²(u) como cos²(u), veja:

$\displaystyle\int~cos(u)\sqrt{1-sin^2(u)}~du\\\\\\\ \displaystyle\int~cos^2(u)$

Agora podemos fazer uma redução desta fórmula através da seguinte expressão:

$\displaystyle\int~cos^{n}(u)~du=\dfrac{n-1}{n}\displaystyle\int~cos^{n-2}(u)~du}+\dfrac{cos^{n-1}(u)sin(u)}{n}}}$

Aplicando a propriedade acima para n= 2, teremos que:

$\dfrac{cos(u)sin(u)}{2}+\dfrac{1}{2}\displaystyle\int~1~du\\\\\\\ \dfrac{cos(u)sin(u)}{2}+\displaystyle\int~\dfrac{u}{2}}$

Desfazendo a substituição u = arcsin(x) e usando sin(arcsin(x)) = x e cos(arcsin(x)) = (√1-x²), teremos:

$\dfrac{arcsen(x)}{2}+\dfrac{x\sqrt{1-x^2}}{2}}}$

Fazendo a soma dessas frações e adicionando a constante de integração obtemos a resolução da integral dada:

$\dfrac{arcsen(x)}{2}+\dfrac{x\sqrt{1-x^2}}{2}}}\\\\\\\\ \displaystyle\int~\sqrt{1-x^{2}}~dx=\dfrac{arcsen(x)+x\sqrt{1-x^{2}}}{2}}}+C$

Espero que te ajude (^.^)

Answer 2

Calcular a integral indefinida:

$\displaystyle\int\sqrt{1-x^2}\,dx$

Podemos usar substituição trigonométrica aqui:

$x=\mathrm{sen\,}\theta\\\\ \Rightarrow\quad\left\{\!\begin{array}{l} dx=\cos\theta\,d\theta\\\\ \theta=\mathrm{arcsen}(x) \end{array}\right.$

com $-\,\dfrac{\pi}{2}\le\theta\le\dfrac{\pi}{2}.$

Além disso, temos que

$\sqrt{1-x^2}=\sqrt{1-\mathrm{sen^2\,}\theta}\\\\ \sqrt{1-x^2}=\sqrt{\cos^2 \theta}\\\\ \sqrt{1-x^2}=|\cos \theta|$

Como $\cos\theta\ge 0,$ para $\theta\in\left[-\dfrac{\pi}{2},\,\dfrac{\pi}{2}\right],$ temos que

$\sqrt{1-x^2}=\cos\theta$

Substituindo, a integral fica

$\displaystyle\int\sqrt{1-x^2}\,dx\\\\\\ =\int\cos\theta\cdot \cos\theta\,d\theta\\\\\\ =\int\cos^2\theta\,d\theta$

Para esta integral, podemos usar uma identidade trigonométrica para o cosseno do arco duplo:

$\cos^2\theta=\dfrac{1}{2}\,(1+\cos 2\theta)$

e a integral fica

$\displaystyle=\int\frac{1}{2}\,(1+\cos 2\theta)\,d\theta\\\\\\ =\frac{1}{2}\int 1\,d\theta+\frac{1}{2}\int\cos 2\theta\,d\theta\\\\\\ =\frac{1}{2}\,\theta+\frac{1}{2}\cdot \left(\frac{1}{2}\,\mathrm{sen\,}2\theta\right)+C$

Aplicando o seno do arco duplo, chegamos a

$=\dfrac{1}{2}\,\theta+\dfrac{1}{2}\,\mathrm{sen\,}\theta\cos\theta+C$

Use as relações de transformação para voltar à variável $x:$

$=\dfrac{1}{2}\,\mathrm{arcsen}(x)+\dfrac{1}{2}\,x\sqrt{1-x^2}+C$

esta é a resposta.

Bons estudos! :-)