Matemática, perguntado por analuluma3005, 9 meses atrás

calcule a seguinte integral:

∫ sen⁵ x cos³ xdx

Soluções para a tarefa

Respondido por Nefertitii
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Temos a seguinte integral trigonométrica:

 \sf  \int sen {}^{5} x.cos {}^{3} x . dx \\

  • Quando temos uma integral do tipo: \boxed{\sf \int sen^{m}x.cos^{n}x.dx}

Devemos lembrar de duas regras sobre os expoentes "m" e"n", que sempre serão números inteiros.

 \sf \begin{cases} \sf m \:\:ou\:\: n\:\: \acute{i}mpar\rightarrow sen^{2}x + cos^{2}x = 1\\\\ \sf m \:\: e \:\: n \:\: pares\rightarrow \begin{cases} \sf sen^{2}(x) = \frac{1-cos(2x}{2}\\ \sf cos^{2}(x) =\sf\frac{1+cos(2x)}{2}\end{cases} \end{cases}

Como você pode notar, a integral em questão se encaixa na primeira regra do expoente ímpar. Para não termos muito trabalho, vamos usar com o cos³x.

  • Primeiro isole o cos²x da relação fundamental da trigonometria:

 \sf sen {}^{2} x + cos {}^{2} x = 1 \\  \sf cos {}^{2}  = 1 - sen {}^{2} x

Após isso, faça uma manipulação no cos³x de forma que apareça cos²x, ao fazer isso, prossiga com o cálculo.

 \sf sen {}^{5} x.cos {}^{3} x = sen {}^{5} x.(cos {}^{2} x).cosx \\   \\ \sf  sen {}^{5} x.(1 - sen {}^{2} x).cosx =  \\  \\  \sf sen {}^{5}x.cosx.(1 - sen {}^{2} x) =  \\  \\  \sf1( sen {}^{5}x .cosx) - sen {}^{5}x .cosx.(sen {}^{2} x) =  \\  \\   \boxed{\sf sen {}^{5}x .cosx - sen {}^{7} x.cosx}

Esse valor que encontramos, é equivalente a sen⁵x . cos³x . dx, portanto vamos calcular a integral desse novo valor, para isso devemos utilizar a integral por substituição:

  • Primeiro abra essa integral em duas:

  \sf\int sen {}^{5} x.cosx - sen {}^{7}.cosx. dx =  \\  \\  \sf \int sen {}^{5} x.cosx . dx -  \int sen {}^{7} .cosx .dx

  • Usando a integral por substituição:

Integral (1):

 \sf  \int sen {}^{5} x.cosx.dx \\  \sf u =</p><p>senx \\  \sf du = cosx.dx \\  \\  \sf  \int u {}^{5} .du =  \frac{u {}^{5 + 1} }{5 + 1}  =  \frac{u{}^{6} }{6}  =  \frac{sen {}^{6}x }{6}

Integral (2):

 \sf  \int sen {}^{7} x.cosx.dx \\  \sf u = senx \\  \sf du = cosx.dx \\  \\   \sf\int u {}^{7} .du =  \frac{u {}^{7 + 1} }{7 + 1}  =  \frac{u{}^{8} }{8}  =  \frac{sen {}^{8}x }{8}

Por fim, temos que a resposta é:

\sf\int sen {}^{5} x.cosx - sen {}^{7}.cosx. dx =  \\  \\  \sf \int sen {}^{5} x.cosx . dx -  \int sen {}^{7} .cosx .dx  =  \\  \\ \boxed{  \sf  \frac{sen {}^{6} x}{6}  -  \frac{sen {}^{8}x }{8}  + C}

Espero ter ajudado

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