Question

calcule a seguinte integral indefinida f(2x²+6)dx

Answer 1

= f(2x² + 6)dx

= f(2x²)dx + f(6)dx

= 2.f(x²)dx + f(6)dx

= 2.(x³/3) + 6x

= (2/3).x³ + 6x

Resposta: (2/3).x³ + 6x

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a integral indefinida - primitiva ou antiderivada - procurada é:

 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf \int (2x^{2} + 6)\,dx = \frac{2}{3}x^{3} + 6x + c\:\:\:}}\end{gathered} }$

Seja a integral:

             $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \int (2x^{2} + 6)\,dx\end{gathered}$

A partir da referida integral temos a seguinte função que desejamos integrá-la:

            $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt f(x) = 2x^{2} + 6\end{gathered}$

Observando a função percebemos que ela é uma função polinomial. Neste caso, devemos levar em consideração as seguinte propriedades de integração de potências, que são:  

    $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt \int x^{n}\,dx = \Large\begin{cases}\tt \frac{x^{n + 1}}{n + 1}, \:\:\:\textrm{se}\,n\neq -1\\\\\tt \ln|n|,\:\:\:\:\:\textrm{se}\,n = -1\end{cases}\end{gathered} }$

Para resolver a referida integral, fazemos:

  $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \int (2x^{2} + 6)\,dx = \int 2x^{2}\,dx + \int 6\,dx\end{gathered}$

                                   $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = 2\int x^{2}\,dx + 6\int dx\end{gathered}$

                                    $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt = 2\cdot \frac{x^{2 + 1}}{2 + 1} + 6x + c\end{gathered} }$

                                    $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = \frac{2}{3}x^{3} + 6x + c\end{gathered}$

✅ Portanto, a integral procurada é:

   $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \int (2x^{2} + 6)\,dx = \frac{2}{3}x^{3} + 6x + c\end{gathered}$

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A figura representa a solução gráfica da referida questão: