Question

Calcule a seguinte integral indefinida f(2x^2+6)=dx

Answer 1

Resposta:

$\frac{2 {x}^{3} }{3} + 6x + C$

Explicação passo-a-passo:

$\int (2 {x}^{2} + 6) dx = \int 2 {x}^{2} dx + \int (6) dx = 2 \int {x}^{2} dx + 6x = 2. \frac{ {x}^{3} }{3} + 6x = \frac{2 {x}^{3} }{3} + 6x+C$

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a integral indefinida - primitiva ou antiderivada - procurada é:

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf \int (2x^{2} + 6)\,dx = \frac{2}{3}x^{3} + 6x + c\:\:\:}}\end{gathered} }$

Seja a função:

            $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt f(x) = 2x^{2} + 6\end{gathered}$

Se desejamos calcular a integral indefinida desta função, devemos resolver a seguinte expressão:

            $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \int (2x^{2} + 6)\,dx\end{gathered}$

Observando a função percebemos que ela é uma função polinomial. Neste caso, devemos levar em consideração as seguinte propriedades de integração de potências, que são:  

    $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt \int x^{n}\,dx = \Large\begin{cases}\tt \frac{x^{n + 1}}{n + 1}, \:\:\:\textrm{se}\,n\neq -1\\\\\tt \ln|n|,\:\:\:\:\:\textrm{se}\,n = -1\end{cases}\end{gathered} }$

Para resolver a referida integral, fazemos:

  $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \int (2x^{2} + 6)\,dx = \int 2x^{2}\,dx + \int 6\,dx\end{gathered}$

                                   $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = 2\int x^{2}\,dx + 6\int dx\end{gathered}$

                                    $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt = 2\cdot \frac{x^{2 + 1}}{2 + 1} + 6x + c\end{gathered} }$

                                    $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = \frac{2}{3}x^{3} + 6x + c\end{gathered}$

✅ Portanto, a integral procurada é:

   $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \int (2x^{2} + 6)\,dx = \frac{2}{3}x^{3} + 6x + c\end{gathered}$

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A figura representa a resolução gráfica da referida questão: