Question

Calcule a seguinte integral definida: ∫ x√x dx, no limite [ 1, 4].

Answer 1

Olá, bom dia.

Devemos calcular a seguinte integral definida:

$\displaystyle{\int x\sqrt{x}\,dx$, no limite $[1,~4]$.

Lembre-se que a integral definida de uma função $f(x)$, contínua em um intervalo fechado $[a,~b]$ é escrita utilizando a seguinte notação:

$\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx$.

Logo, teremos:

$\displaystyle{\int_1^4 x\sqrt{x}\,dx$

Para calcularmos esta integral, lembre-se que:

• A integral de uma potência é calculada pela regra da potência: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1},~n\neq-1$. Em integrais definidas, não é necessário adicionar a constante de integração.
• A integral definida de uma função $f(x)$, contínua em um intervalo fechado $[a,~b]$ é calculada de acordo com o Teorema fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)$, em que $F(x)$ é a antiderivada de $f(x)$.

Reescrevendo o radical como uma potência de expoente fracionária: $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$, aplicamos a propriedade da multiplicação de potências de mesma base e somamos os expoentes:

$\displaystyle{\int_1^4 x\cdot x^{\frac{1}{2}}\,dx}\\\\\\\ \displaystyle{\int_1^4 x^{1+\frac{1}{2}}\,dx}\\\\\\ \displaystyle{\int_1^4 x^{\frac{3}{2}}\,dx$

Aplique a regra da potência

$\dfrac{x^{\frac{3}{2}+1}}{\frac{3}{2}+1}~\biggr|_1^4$

Some as frações

$\dfrac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}~\biggr|_1^4$

Calcule a fração de frações e aplique os limites de integração

$\dfrac{2x^{\frac{5}{2}}}{5}~\biggr|_1^4\\\\\\\ \dfrac{2\cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5}-\dfrac{2\cdot1^{\frac{5}{2}}}{5}$

Calcule as potências, sabendo que $4=2^2$ e $(a^m)^n=a^{m\cdot n}$.

$\dfrac{2\cdot 32}{5}-\dfrac{2\cdot1}{5}$

Multiplique os valores e some as frações

$\dfrac{64}{5}-\dfrac{2}{5}\\\\\\ \dfrac{62}{5}$

Este é o resultado desta integral definida.