Question

Calcule a seguinte integral definida:

$\displaystyle\int_{1}^{2} \dfrac{e^x(x - 1)}{x(x + e^x)} \, dx$

​

Answer 1

Queremos calcular a integral

$I = \displaystyle \int_1^2 f(x) \, dx$

onde

$f(x) = \dfrac{e^x(x-1)}{x(x+e^x)}}$

Vamos obter uma primitiva para f. Para ficar mais fácil "visualizar", seja y = eˣ. Assim temos:

$f(x) = \dfrac{y(x-1)}{x(x+y)} = \dfrac{xy + x - x - y}{x(x+y)} = \dfrac{y+1}{x+y} - \dfrac{1}{x} \implies \boxed{f(x) = \dfrac{e^x + 1}{x + e^x} - \dfrac 1x}$

Disso segue que

$I = \displaystyle \int_1^2 \dfrac{e^x + 1}{e^x + x} \, dx -\int_1^2 \dfrac 1x \, dx$

A segunda integral tem primitiva log(x). Já para a primeira, note que o numerador é a derivada do denominador. Portanto,sua primitiva e log(x+ eˣ). Com isso concluímos que:

$I = \log(x+e^x)\Bigg|_{x=1}^{x= 2} -\log x\Bigg|_{x=1}^{x=2} = \log \left( \dfrac{2+e^2}{2 + 2e} \right)$

Resposta:

A integral procurada tem valor $\log \left( \dfrac{2+e^2}{2 + 2e} \right)$

Answer 2

Explicação passo-a-passo:

Cálculo da Integral ...

$\iff \mathtt{I~=~}\displaystyle \int \limits_{1}^{2} \mathtt{ \dfrac{e^x(x - 1)}{x(x + e^x)} \, dx }$

Vamos dividir o numerador e o denominador da função por x² :

$\iff \mathtt{I~=~}\displaystyle \int \limits_{1}^{2} \mathtt{ \dfrac{ \frac{e^x(x - 1)}{x^2} }{ \frac{x(x + e^x)}{x^2} } \,dx }$

$\iff \mathtt{I~=~}\displaystyle\int \limits_{1}^{2} \mathtt{ \dfrac{ \frac{e^x\cdot x - e^x }{x^2} }{ \frac{x + e^x}{x} } \,dx }$

$\iff \mathtt{I~=~}\displaystyle\int \limits_{1}^{2} \mathtt{ \dfrac{ \frac{ e^x \cdot x - e^x }{x^2} }{ 1 + \frac{e^x}{x} } \,dx }$

$\iff \mathtt{I~=~}\displaystyle\int \limits_{1}^{2} \mathtt{ \dfrac{ \Big( 1 + \frac{e^x}{x} \Big)' }{ 1 + \frac{e^x}{x} } \, dx }$

$\iff \mathtt{ I~=~\ln\Big| 1 + \dfrac{e^x}{x} \Big| ~\Bigg|_{1}^{2} }$

$\iff \mathtt{I~=~\ln \Big| 1 + \dfrac{e^2}{2} \Big| - \ln |1 + e |}$

$\iff \mathtt{ I~=~\ln\Big( \dfrac{2 + e^2}{2} \Big) - ln(1 + e) }$

$\iff \sf{ I~=~ \ln\left( \dfrac{2 + e^2}{2} \div (1 + e) \right) }$

$\iff \sf{ I~=~ \ln\left( \dfrac{2+e^2}{2(1+e)} \right) }$

Espero ter ajudado bastante!)