Question

Calcule a seguinte integral:

Bem explicado,por favor

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{\ln|x^2+1|+\arctan(x)-2\ln|x-1|-\dfrac{1}{x-1}+C,~C\in\mathbb{R}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta integral, utilizaremos o método das frações parciais.

Seja a integral:

$\displaystyle{\int\dfrac{-2x+4}{(x^2+1)(x-1)^2}\,dx$

Separe a fração como uma soma de frações

$\displaystyle{\int\dfrac{Ax+B}{(x^2+1)}+\dfrac{C}{(x-1)}+\dfrac{D}{(x-1)^2}\,dx$

Então, compare as frações:

$\dfrac{Ax+B}{(x^2+1)}+\dfrac{C}{(x-1)}+\dfrac{D}{(x-1)^2}=\dfrac{-2x+4}{(x^2+1)(x-1)^2}$

Multiplique ambos os lados da equação por $(x^2+1)(x-1)^2$

$(Ax+B)(x-1)^2+C(x-1)(x^2+1)+D(x^2+1)=-2x+4$

Faça $x=1$ para encontrarmos o valor de $D$

$(A\cdot1+B)(1-1)^2+C(1-1)(1^2+1)+D(1^2+1)=-2\cdot1+4\\\\\\ 2D=2\\\\\\\ D=1$

Então, substitua $x=i$, sendo $i$ a unidade imaginária

$(A\cdot i+B)(i-1)^2+C(i-1)(i^2+1)+D(i^2+1)=-2\cdot i+4\\\\\\ -2i(Ai+B)=4-2i\\\\\\\ 2A-2Bi=4-2i$

Comparando os coeficientes, vemos que

$2A=4\\\\\\ A = 2\\\\\\ -2Bi=-2i\\\\\\B=1$

Fazendo $x=0$ e substituindo o restante dos valores conhecidos, teremos

$(A\cdot0+B)(0-1)^2+C(0-1)(0^2+1)+D(0^2+1)=-2\cdot0+4\\\\\\ 1-C+1=4\\\\\\\ C=-2$

Nossa integral se torna:

$\displaystyle{\int\dfrac{2x+1}{(x^2+1)}-\dfrac{2}{(x-1)}+\dfrac{1}{(x-1)^2}\,dx$

Aplique a propriedade da integral de uma soma

$\displaystyle{\int\dfrac{2x+1}{(x^2+1)}\,dx-\int\dfrac{2}{(x-1)}\,dx+\int\dfrac{1}{(x-1)^2}\,dx$

Separe a primeira fração como uma soma de frações

$\displaystyle{\int\dfrac{2x}{(x^2+1)}\,dx+\int\dfrac{1}{(x^2+1)}\,dx-\int\dfrac{2}{(x-1)}\,dx+\int\dfrac{1}{(x-1)^2}\,dx$

Na primeira integral, faça uma substituição $u=x^2+1$ e nas duas últimas, $t=x-1$. Diferenciamos ambos os lados em respeito a variável $x$ para encontrarmos os respectivos diferenciais:

$u'=(x^2+1)'\\\\\\ du=2x\,dx\\\\\\ t'=(x-1)'\\\\\\ dt=dx$

Nossas integrais se tornam

$\displaystyle{\int\dfrac{du}{u}\,dx+\int\dfrac{1}{(x^2+1)}\,dx-\int\dfrac{2}{t}\,dx+\int\dfrac{1}{t^2}\,dx$

Lembre-se das integrais imediatas: $\displaystyle{\int\dfrac{1}{(x^2+a^2)}\,dx=\dfrac{1}{a}\cdot\arctan\left(\dfrac{x}{a}\right)$ e $\displaystyle{\int\dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|$. Calcule também a integral da potência.

$\ln|u|+C_1+\arctan(x)+C_2\,dx-2(\ln|t|+C_3)-\dfrac{1}{t}+C_4$

Desfaça as substituições e considere $C_1+C_2-2C_3+C_4=C$

$\ln|x^2+1|+\arctan(x)-2\ln|x-1|-\dfrac{1}{x-1}+C,~C\in\mathbb{R}$

Este é o resultado desta integral.