Question

Calcule a seguinte integral (Bem explicado,por favor)

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{2\ln|x+1|-\ln|x-2|+C,~C\in\mathbb{R}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta integral, utilizaremos o método das frações parciais.

Seja a integral:

$\displaystyle{\int \dfrac{x-5}{x^2-x-2}\,dx$

Fatore a expressão no denominador, escrevendo-a na forma canônica:

$\displaystyle{\int \dfrac{x-5}{(x-2)\cdot(x+1)}\,dx$

Então, reescreva a fração como uma soma de frações, cujos numeradores são, respectivamente, $A$ e $B$:

$\displaystyle{\int \dfrac{A}{x-2}+\dfrac{B}{x+1}\,dx$

Para determinarmos os valores de $A$ e $B$, comparamos as frações:

$\dfrac{A}{x-2}+\dfrac{B}{x+1}=\dfrac{x-5}{(x-2)\cdot(x+1)}$

Multiplique ambos os lados da equação por $(x-2)\cdot(x+1)$

$A\cdot(x+1)+ B\cdot(x-2)=x-5$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$Ax+A+ Bx-2B=x-5$

Reorganize os termos e fatore a expressão

$(A+B)x+A-2B=x-5$

Comparando os coeficientes, temos o seguinte sistema:

$\begin{cases}A+B=1\\A-2B=-5\\\end{cases}$

Multiplique a primeira equação por $2$

$\begin{cases}2A+2B=2\\A-2B=-5\\\end{cases}$

Some a primeira e segunda equações

$3A=-3$

Divida ambos os lados da equação por $3$

$A=-1$

Substituindo este valor em qualquer uma das equações, obtemos

$B=2$

Assim, nossa integral se torna:

$\displaystyle{\int -\dfrac{1}{x-2}+\dfrac{2}{x+1}\,dx$

Lembrando que a integral de uma soma de funções é igual a soma das integrais das funções, teremos:

$\displaystyle{\int -\dfrac{1}{x-2}\,dx+\int\dfrac{2}{x+1}\,dx$

Aplique a propriedade da constante: $\displaystyle{\int a\cdot f(x)\,dx=a\cdot \int f(x)\,dx$

$\displaystyle{-\int \dfrac{1}{x-2}\,dx+2\cdot\int\dfrac{1}{x+1}\,dx$

Em cada uma das integrais, faça uma substituição: $u=x-2$ e $t=x+1$.

Diferencie ambas as expressões para encontrarmos os respectivos diferenciais:

$u'=(x-2)'\\\\\\ du = dx\\\\\\ t'=(x+1)'\\\\\\ dt = dx$

Nossas integrais se tornam:

$\displaystyle{-\int \dfrac{du}{u}+2\cdot\int\dfrac{dt}{t}$

Lembre-se que $\displaystyle{\int \dfrac{dx}{x}=\ln|x|+C$, logo

$-(\ln|u|+C_1)+2\cdot(\ln|t|+C_2)$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação e desfaça as substituições

$-\ln|x-2|-C_1+2\ln|x+1|+2C_2$

Reorganize os termos e considere $2C_2-C_1=C$

$2\ln|x+1|-\ln|x-2|+C,~C\in\mathbb{R}$

Este é o resultado desta integral.