Question

Calcule a seguinte integral:

Answer 1

Após efetuar os cálculos, concluímos que a função pedida na questão é

$\sf u(x)=5\sqrt[\sf5]{\sf x}-+2x^3-4x-1$

Potência com expoente fracionário

$\huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\sf a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[\sf n]{\sf a^m}}}}}$

Propriedades básicas

da integral indefinida

• $\displaystyle\sf\int a\,f(x)=a\int f(x)dx$

ou seja quando temos uma constante no integrando, podemos realizar uma transformação linear ,isto é, basta colocar a constante para fora do sinal de integral.

♣

$\displaystyle\sf\int( f(x)\pm g(x))dx=\int f(x)dx\pm\int g(x)dx$

ou seja a integral de uma soma,diferença é igual a soma/diferença das integrais

♣$\displaystyle\sf\int x^ndx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+c,n\ne-1$

ou seja, supondo que n≠-1, a integral da potência é uma fração cujo numerador é a variável elevado ao expoente mais uma unidade e o denominador é expoente da variável mais uma unidade,adicionado a uma constante de integração.

♣ $\displaystyle\sf\int dx=x+c$

ou seja a integral do diferencial da variável é igual a própria variável somando a uma constante de integração.

Vamos a resolução do exercício

Aqui é apresentada uma função derivada e queremos encontrar a primitiva desta função, ou seja, a função cuja derivada é apresentada. Para isso devemos integrar a função derivada,adicionar a constante de integração e por fim usando a imagem fornecida descobrir o valor da constante.

Acompanhe:

$\displaystyle\sf u(x)=\int( \frac{1}{\sqrt[\sf5]{\sf x^4}}+6x^2-4)dx\\\displaystyle\sf u(x)=\int (x^{-\frac{4}{5}}+6x^2-4)dx\\\sf u(x)=\dfrac{x^{-\frac{4}{5}+1}}{-\frac{4}{5}+1}+\dfrac{6x^{2+1}}{2+1}-4x+C\\\sf u(x)=\dfrac{x^{\frac{1}{5}}}{\frac{1}{5}}+\dfrac{6x^3}{3}-4x+C$

A função procurada é

$\sf u(x)=5\sqrt[\sf5]{\sf x}+2x^3-4x+C$

Note que na questão é dado que u(1)=2, isto é, quando x=1 temos y=2. Para descobrir o valor de C vamos substituir.

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf u(1)=5\cdot1^{\frac{1}{5}}+2\cdot 1^3-4\cdot1+C\\\sf 5+2-4+C=2\\\sf C+3=2\\\sf C=2-3\\\sf C=-1\end{array}}$

A função pedida na questão é

$\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\sf u(x)=5\sqrt[\sf5]{\sf x}+2x^3-4x-1}}}}$

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