Question

Calcule a seguinte integral:

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{\ln|x|+\dfrac{\ln|x^2+4|}{2}-\dfrac{1}{2}\cdot\arctan\left(\dfrac{x}{2}\right)+C}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa tarde.

Para resolvermos a seguinte integral, utilizaremos o método de completar quadrados.

Seja a integral:

$\displaystyle{\int \dfrac{2x^2-x+4}{x^3+4x}\,dx$

Começamos somando $x^2-x^2$ no numerador

$\displaystyle{\int \dfrac{2x^2-x+4+\bold{x^2-x^2}}{x^3+4x}\,dx$

Reorganize os termos da seguinte maneira:

$\displaystyle{\int \dfrac{2x^2+x^2+4-x^2-x}{x^3+4x}\,dx$

Separe a fração como uma soma de frações:

$\displaystyle{\int \dfrac{3x^2+4}{x^3+4x}-\dfrac{x^2+x}{x^3+4x}\,dx$

Lembre-se que $\displaystyle{\int f(x)\pm g(x)\,dx = \int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx$, logo

$\displaystyle{\int \dfrac{3x^2+4}{x^3+4x}\,dx-\int\dfrac{x^2+x}{x^3+4x}\,dx$

Na primeira integral, faça uma substituição $u=x^3+4x$. Diferencie ambos os lados em relação a $x$ para encontrar o diferencial $du$:

$u'=(x^3+4x)'\\\\\\ \dfrac{du}{dx}=3x^2+4$

Multiplique ambos os lados da equação por $dx$

$du=3x^2+4\,dx$

Veja que este elemento já está presente na integral, logo:

$\displaystyle{\int \dfrac{du}{u}-\int\dfrac{x^2+x}{x^3+4x}\,dx$

Na segunda integral, reescrevemos o numerador e o denominador como um produto:

$\displaystyle{\int \dfrac{du}{u}-\int\dfrac{x\cdot(x+1)}{x\cdot(x^2+4)}\,dx$

Simplifique a fração

$\displaystyle{\int \dfrac{du}{u}-\int\dfrac{x+1}{x^2+4}\,dx$

Separe a fração como uma soma de frações e aplique a propriedade da soma de integrais discutida anteriormente

$\displaystyle{\int \dfrac{du}{u}-\int\dfrac{x}{x^2+4}\,dx-\int\dfrac{1}{x^2+4}\,dx$

Na segunda integral, faça uma substituição $t=x^2+4$. Diferenciando ambos os lados, temos:

$t'=(x^2+4)'\\\\\\ dt=2x\,dx$

Divida ambos os lados da equação por $2$

$\dfrac{dt}{2}=x\,dx$

Veja que este elemento já está presente na integral, logo

$\displaystyle{\int \dfrac{du}{u}-\int\dfrac{dt}{2t}-\int\dfrac{1}{x^2+4}\,dx$

Então, lembre-se das seguintes propriedades:

• $\displaystyle{\int \dfrac{dx}{x}=\ln|x|+C$.
• $\displaystyle{\int a\cdot f(x)\,dx=a\cdot\int f(x)\,dx$.
• $\displaystyle{\int \dfrac{1}{x^2+a^2}\,dx=\dfrac{1}{a}\cdot\arctan\left(\dfrac{x}{a}\right)+C$.

Aplicando as propriedades, teremos:

$\displaystyle{\ln|u|+C_1-\dfrac{\ln|t|}{2}-\dfrac{C_2}{2}-\dfrac{1}{2}\cdot\arctan\left(\dfrac{x}{2}\right)+C_3$

Desfaça as substituições e considere $C_1-\dfrac{C_2}{2}+C_3=C$

$\displaystyle{\ln|x^3+4x|-\dfrac{\ln|x^2+4|}{2}-\dfrac{1}{2}\cdot\arctan\left(\dfrac{x}{2}\right)+C$

Aplique a propriedade de logaritmos:

$\displaystyle{\ln|x|+\ln|x^2+4|-\dfrac{\ln|x^2+4|}{2}-\dfrac{1}{2}\cdot\arctan\left(\dfrac{x}{2}\right)+C$

Some as frações

$\displaystyle{\ln|x|+\dfrac{\ln|x^2+4|}{2}-\dfrac{1}{2}\cdot\arctan\left(\dfrac{x}{2}\right)+C$

Este é o resultado desta integral.