Question

Calcule a seguinte integral:

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{\dfrac{3}{25}\ln\left|\dfrac{x-4}{x+1}\right|-\dfrac{2}{5(x+1)}+C,~C\in\mathbb{R}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa tarde.

Para resolvermos esta integral, utilizaremos o método das frações parciais.

Seja a integral:

$\displaystyle{\int \dfrac{x-1}{(x+1)^2(x-4)}\,dx$

Separamos a fração como uma soma de frações: lembre-se que quando um dos denominadores é uma potência, devemos colocar duas frações

$\displaystyle{\int \dfrac{A}{(x+1)}+\dfrac{B}{(x+1)^2}+\dfrac{C}{(x-4)}\,dx$

Então, comparamos estas frações com a fração original que temos:

$\dfrac{A}{(x+1)}+\dfrac{B}{(x+1)^2}+\dfrac{C}{(x-4)}=\dfrac{x-1}{(x+1)^2(x-4)}$

Multiplique ambos os lados por $(x+1)^2(x-4)$

$A(x+1)(x-4)+B(x-4)+C(x+1)^2=x-1$

Então, substituímos $x=4$ para encontrarmos o valor de $C$:

$A(4+1)(4-4)+B(4-4)+C(4+1)^2=4-1$

Some e multiplique os valores

$C\cdot(5)^2=3$

Calcule a potência

$25C=3$

Divida ambos os lados da equação por $25$

$C=\dfrac{3}{25}$

Então, substitua o valor de $C$ e faça $x=-1$

$A(-1+1)(-1-4)+B(-1-4)+\dfrac{3}{25}\cdot(-1+1)^2=-1-1$

Some e multiplique os valores

$-5B=-2$

Divida ambos os lados da equação por $-5$

$B=\dfrac{2}{5}$

Por fim, substitua os valores conhecidos e faça $x=1$

$A(1+1)(1-4)+\dfrac{2}{5}(1-4)+\dfrac{3}{25}\cdot(1+1)^2=1-1$

Some e multiplique os valores

$-6A-\dfrac{6}{5}+\dfrac{12}{25}=0$

Some os termos semelhantes

$-6A-\dfrac{18}{25}=0$

Some $\dfrac{18}{25}$ em ambos os lados da equação

$-6A=\dfrac{18}{25}$

Divida ambos os lados da equação por $-6$

$A=-\dfrac{3}{25}$

Dessa forma, nossa integral se torna:

$\displaystyle{\int \dfrac{-3}{25(x+1)}+\dfrac{2}{5(x+1)^2}+\dfrac{3}{25(x-4)}\,dx$

Lembre-se que:

• A integral de uma soma de funções é igual a soma das integrais das funções.
• A integral de uma potência é dada por: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$.
• A integral do produto entre uma constante e uma função é dada por: $\displaystyle{\int a\cdot f(x)\,dx=a\cdot\int f(x)\,dx$.

Aplicando a regra da soma, teremos

$\displaystyle{\int \dfrac{-3}{25(x+1)}\,dx+\int\dfrac{2}{5(x+1)^2}\,dx+\int\dfrac{3}{25(x-4)}\,dx$

Aplique a regra da constante

$\displaystyle{-\dfrac{-3}{25}\cdot\int\dfrac{1}{(x+1)}\,dx+\dfrac{2}{5}\cdot\int\dfrac{1}{(x+1)^2}\,dx+\dfrac{3}{25}\cdot\int\dfrac{1}{(x-4)}\,dx$

Então, faça as substituições $u=x+1$ e $t=x-4$. Diferenciando ambos os lados, temos:

$u'=(x+1)'\\\\\\ du=dx\\\\\\ t'=(x-4)'\\\\\\ dt=dx$

Substituindo estes elementos nas integrais, temos

$\displaystyle{-\dfrac{-3}{25}\cdot\int\dfrac{1}{u}\,du+\dfrac{2}{5}\cdot\int\dfrac{1}{u^2}\,du+\dfrac{3}{25}\cdot\int\dfrac{1}{t}\,dt$

Lembre-se que $\displaystyle{\int\dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C$. Sabendo que $\dfrac{1}{u^2}=u^{-2}$, aplique a regra da potência:

$-\dfrac{-3}{25}\cdot(\ln|u|+C_1)+\dfrac{2}{5}\cdot\left(\dfrac{u^{-2+1}}{-2+1}+C_2\right)+\dfrac{3}{25}\cdot(\ln|t|+C_3)$

Some e multiplique os valores

$-\dfrac{3\ln|u|}{25}-\dfrac{3C_1}{25}-\dfrac{2u^{-1}}{5}+\dfrac{2C_2}{5}+\dfrac{3\ln|t|}{25}+\dfrac{3C_3}{25}$

Desfaça a substituição e considere $-\dfrac{3C_1}{25}+\dfrac{2C_2}{5}+\dfrac{3C_3}{25}=C$

$-\dfrac{3\ln|x+1|}{25}-\dfrac{2}{5(x+1)}+\dfrac{3\ln|x-4|}{25}+C$

Aplique a propriedade de logaritmos

$\dfrac{3}{25}\ln\left|\dfrac{x-4}{x+1}\right|-\dfrac{2}{5(x+1)}+C,~C\in\mathbb{R}$

Este é o resultado desta integral.