Question

calcule a sabendo se coplanares os vetores.
a) u = ( 1,3,0) v =(2,1,4) e w =(3,4,a)

Answer 1

✅ Após ter resolvido os cálculos, concluímos que o valor do parâmetro "a" que torna os referidos vetores coplanares é:

       $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf a = 4\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os vetores dados:

     $\Large\begin{cases}\vec{u} = (1, 3, 0)\\\vec{v} = (2, 1, 4)\\\vec{w} = (3, 4, a) \end{cases}$

Dizemos que três vetores em R³ são coplanares se, e somente se, o produto misto dos respectivos vetores resultar em "0". Caso contrário, não serão coplanares. Desse modo, temos:

               $\Large\displaystyle\begin{gathered}\vec{u}\cdot\vec{v}\wedge\vec{w} = 0 \end{gathered}$

       $\Large\displaystyle\begin{gathered} \begin{vmatrix}1 & 3 & 0\\2 & 1 & 4\\3 & 4 & a \end{vmatrix}\begin{matrix}1 & 3\\2 & 1\\3 & 4 \end{matrix} = 0\end{gathered}$

      $\large\displaystyle\begin{gathered}1\cdot1\cdot a + 3\cdot4\cdot3 + 0\cdot2\cdot4 - 3\cdot2\cdot a - 1\cdot4\cdot4 - 0\cdot1\cdot3 = 0\end{gathered}$

       $\Large\displaystyle\begin{gathered} a + 36 + 0 - 6a - 16 - 0 = 0 \end{gathered}$

                                         $\Large\displaystyle\begin{gathered}-5a + 20 = 0 \end{gathered}$

                                                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} -5a = -20\end{gathered}$

                                                         $\Large\displaystyle\begin{gathered} 5a = 20\end{gathered}$

                                                            $\Large\displaystyle\begin{gathered} a = \frac{20}{5} \end{gathered}$

                                                             $\Large\displaystyle\begin{gathered}a = 4 \end{gathered}$

✅ Portanto, o valor do parâmetro "a" é:

               $\Large\displaystyle\begin{gathered} a = 4\end{gathered}$

✅ Então, para que os três vetores sejam coplanares ao plano "π", suas coordenadas serão, respectivamente:

            $\Large\begin{cases}\vec{u} = (1, 3, 0)\\\vec{v} = (2, 1, 4)\\\vec{w} = (3, 4, 4) \end{cases}$

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Solução gráfica:

Answer 2

Resposta:

1    3     0

2    1     4

3    4     a

Vetores linearmente dependentes -  LD , determinante = 0

Calculando o determinante usando Sarrus

1    3     0    1    3

2    1     4    2    1

3    4     a    3    4  

det=a+36+0 -6a-16-0 =0

-5a = -20

a = 4