Question

Calcule a reta tangente e a reta normal à função y = x2 + 2x no ponto x0= 1.

Answer 1

Olá

y = x² + 2x
x₀ = 1

RETA TANGENTE
A equação da reta tangente é dada por

$\displaystyle \mathsf{Rt: ~~y-f(x_0)=f'(x_0)\cdot (x-x_0)}$

Vamos calcular f(x₀)

f(x) = x² + 2x
f(1) = 1² + 2*1
f(1) = 3

Calculando a derivada 

f(x) = x² + 2x
f'(x) = 2x + 2

Calculando f'(x₀)

f'(1) = 2*1 + 2
f'(1) = 4

Substituindo os dados na fórmula

$\mathsf{y-3=4\cdot (x-1)}\\\\\mathsf{y-3=4x-4}\\\\\mathsf{y=4x-4+3}\\\\\boxed{\mathsf{y=4x-1}}\qquad\Longleftarrow\qquad\text{Reta tangente}$


RETA NORMAL
A reta normal é dada por

$\displaystyle \mathsf{Rn:~~y-f(x_0)=- \frac{1}{f'(x_0)}\cdot (x-x_0) }$

Os dados são os mesmos da reta tangente, então vamos substituir na fórmula

$\displaystyle \mathsf{y-3=- \frac{1}{4}\cdot (x-1) }\\\\\\\mathsf{y-3=- \frac{1}{4}x+ \frac{1}{4} }\\\\\\\mathsf{y= -\frac{1}{4}x + \frac{1}{4} +3}\\\\\\\boxed{\mathsf{y=- \frac{1}{4}x+ \frac{13}{4} }}\qquad\Longleftarrow\qquad\text{Reta normal}$



Qualquer dúvida deixe nos comentários.