Question

Calcule a razão entre os comprimentos das circunferências inscrita e circunscrita em um quadrado de lado 2 cm

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Caio, que chamaremos de "r" o raio da circunferência inscrita e de "R" o raio da circunferência circunscrita.
Agora, tenha sempre isto em conta:

i) O raio (r) de uma circunferência inscrita a um quadrado de lado L, SEMPRE será igual à metade do lado do quadrado de lado L, ou seja, SEMPRE será igual a:
 
r = L/2 .
 
Como, no caso, o quadrado tem lado igual a "2" cm, então o raio da circunferência inscrita será:

r = 2/2
r = 1 cm <--- Esta é a medida do raio da circunferência inscrita num quadrado de lado igual a "2" cm.

ii) O raio (R) da circunferência circunscrita SEMPRE será a metade da diagonal (D) de um quadrado de lado L. Ou seja:

R = D/2

Agora note que a diagonal (D) de um quadrado de lado L é encontrada assim:

D² = 2L²
D = +-√(2L²) ---- como "L" está ao quadrado, então ele sai de dentro da raiz, ficando:

D = +- L√(2) ----- como a medida da diagonal não é negativa, então tomaremos apenas a raiz positiva e igual a:

D = L√(2) <---- Esta é a medida da diagonal (D) de um quadrado de lado "L".

Bem, agora, vamos transportar o valor de "D" para a nossa expressão do Raio (R) da circunferência circunscrita a um quadrado de lado L, que é esta:

R = D/2 ----- substituindo-se "D" por seu valor encontrado aí em cima, teremos:

R = L√(2) / 2

Agora, como o quadrado tem lado "2", então substituiremos "L" por "2" e teremos o valor do raio da circunferência circunscrita. Assim:

R = 2√(2) / 2 ---- dividindo-se numerador e denominador por "2", ficaremos:

R = √(2) cm <---- Esta é a medida do raio da circunferência circunscrita a um quadrado de lado igual a 2 cm.

iii) Finalmente, agora vamos à razão entre o raio (R) da circunferência circunscrita e o raio (r) da circunferência inscrita a um quadrado de lado igual a "2" cm .
Como já vimos que o raio (R) da circunferência circunscrita é igual a √(2) e o raio (r) da circunferência inscrita é igual a "1", então teremos:

R/r = √(2) / 1

R/r = √(2)  <--- Esta é a resposta. Esta é a razão pedida.

Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.