Question

Calcule a razão entre as medidas das áreas de superfície de um cubo de aresta A e uma esfera de raio R, sendo V o volume de ambos.

Answer 1

$V_{cubo} = V_{esfera} \\ {A}^{3} = \frac{4}{3}\pi {R}^{3} \Rightarrow \frac{ {A}^{3} }{ {R}^{3} } = \frac{4}{3} \pi = { \left ( \frac{A}{R} \right ) }^{3} = \frac{4}{3}\pi \\ \frac{A}{R} = { \left ( \frac{4}{3} \pi \right ) }^{ \frac{1}{3} } \\ \\ \frac{A_{cubo} }{A_{esfera}} = \frac{6 {A}^{2} }{4\pi {R}^{2} } = \frac{6}{4\pi } \cdot {\left [ { \left ( \frac{4}{3} \pi \right ) }^{ \frac{1}{3} } \right ]}^{2} \\ = \frac{3}{2\pi} \cdot \sqrt[3]{{ \left ( \frac{4\pi}{3} \right )}^{2} } = \frac{3}{2\pi} \times \sqrt[3]{ \frac{16{\pi}^{2} }{9} } \\ = \sqrt[3]{\frac{27}{8{\pi}^{3} } \cdot\frac{16{\pi}^{2} }{9} } = \sqrt[3]{ \frac{3 \times 2}{\pi} } = \sqrt[3]{ \frac{6}{\pi} } \\ \\ \boxed{ \textrm{Resposta: } \frac{A_{cubo}}{A_{esfera}} = \sqrt[3]{ \frac{6}{\pi} }}$