Question

Calcule a razão entre as áreas de um triângulo equilátero inscrito numa circunferência e de um hexágono regular cujo apótema mede 10 cm,circunscrito nessa mesma circunferência.

Answer 1

Sea R el radio de la circunferencia, entonces:

$\displaystyle \frac{\mbox{\'Area }\triangle}{\mbox{\'Area del hex\'agono}}=\frac{\frac{3\sqrt{3}}{4}R^2}{2\sqrt{3}R^2}\\ \\ \\ \boxed{\frac{\mbox{\'Area }\triangle}{\mbox{\'Area del hex\'agono}}=\frac{3}{8}}$

Answer 2

De acordo com o teorema de Pitágoras e os princípios da trigonometria, podemos afirmar que a razão  At/Ae equivale a 3/8.

A resolução envolve a determinação da fórmula para calcular a área de um triângulo equilátero considerando a sua altura:

A= (l x h)/ 2

onde:  

ℓ: lado do triângulo  

h: altura do triângulo  

por Pitágoras podemos determinar o lado em função da sua altura:  

ℓ² = h² + (ℓ/2)²  

ℓ² − (ℓ/2)² = h²  

(3/4)ℓ² = h²

ℓ= ( (2√ 3)/ 3) .h

   

Com isso,

A =  2√(3)/3 ·h · h/2

A = √(3) · h²  /3

Cálculo da área do hexágono. Observe que o hexágono é constituído de 6 triângulos de altura 10 cm.  

Ae = 6 ·√(3) · h²  /3

Ae = 6 · √(3) · 10²  /3

Ae = 200 √3 cm²     

At = √(3) · 15²  /3

At = 75 √3 cm²  

Cálculo da razão:  

At/Ae= (75 √3)/ (200√3)  

At/ Ae= 3/8