Question

Calcule a quantidade de anagramas formados pela palavra ANATEL.

(A)360
(B) 50
(C) 280

Answer 1

Olá, boa noite.

Devemos determinar a quantidade de anagramas formados pelas letras da palavra $\sf{ANATEL}$.

Para isso, lembre-se que anagramas de uma palavra são palavras formada pelas mesmas letras da palavra original, em ordens diferentes, denominadas permutações.

Estas permutações podem ser simples ou com repetição.

Quando a permutação é simples, isto é, a palavra não apresenta letras iguais, a quantidade de anagramas é igual ao fatorial da quantidade de letras: $P_n=n!$.

Quando a permutação tem repetição, a quantidade de anagramas é dado pela fórmula: $p_n^{\alpha,~\beta,~\cdots}=\dfrac{n!}{\alpha!\cdot \beta!\cdots!}$, em que $n$ é a quantidade de letras e $\alpha,~\beta$ são a quantidade das letras que se repetem.

Observe que a palavra $\sf{ANATEL}$ tem $6$ letras e a letra $\sf{A}$ aparece $2$ vezes.

Logo, calculamos a quantidade de anagramas desta palavra utilizando uma permutação com repetição:

$P_6^{2}=\dfrac{6!}{2!}$

Calcule os fatoriais, dada a definição: $n!=n\cdot (n-1)\cdot(n-2)\cdots1,~\forall n\in\mathbb{N}$

$P_6^{2}=\dfrac{6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{2\cdot1}$

Simplifique a fração por um fator $2!$ e multiplique os valores

$P_6^2=360~\bold{anagramas}~~\checkmark$

Esta é a quantidade total de anagramas desta palavra e é a resposta contida na letra a).