Question

calcule a primitiva imediata
∫(2x+5)³dx

Answer 1

Oi Francyelle 

∫ (2x + 5)³ dx =  (2x + 5)⁴/8 + C

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a primitiva imediata - antiderivada ou integral indefinida - da função em foco é:

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf \int (2x + 5)^{3}\,dx = \frac{(2x + 5)^{4}}{8} + c\:\:\:}}\end{gathered} }$

Se queremos calcular a seguinte integral:

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \int (2x + 5)^{3}\,dx = \,?\end{gathered}$

Para calcular esta integral devemos utilizar o método da substituição. Para isso devemos:

• Nomear a função que está dentro dos parênteses.

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt u = 2x + 5\end{gathered}$      

• Derivar a função "u" em termos de "x".

             $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \frac{du}{dx} = 2\cdot1\cdot x^{1 - 1} + 0= 2\cdot x^{0} = 2\cdot 1 = 2\end{gathered}$

             $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \Longrightarrow \frac{du}{dx} = 2 \Longrightarrow du = 2\,dx\end{gathered}$

• Isolar "dx" - da derivada - no segundo membro.    

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \frac{du}{2} = dx\end{gathered}$

• Realizar a substituição, desenvolver e simplificar os cálculos.

         $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \int u^{3}\cdot\frac{du}{2} = \frac{1}{2} \cdot \int u^{3}\,du\end{gathered}$

                               $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt = \frac{1}{2}\cdot\frac{u^{3 + 1}}{3 + 1} + c\end{gathered} }$

                               $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt = \frac{1}{2}\cdot\frac{u^{4}}{4} + c\end{gathered} }$

                               $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt = \frac{u^{4}}{8} + c\end{gathered} }$

                               $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt = \frac{(2x + 5)^{4}}{8} + c\end{gathered} }$

✅ Portanto, a primitiva procurada é:

     $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt \int (2x + 5)^{3}\,dx = \frac{(2x + 5)^{4}}{8} + c\end{gathered} }$

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