Matemática, perguntado por brennacastrosilva, 8 meses atrás

Calcule a primitiva da função:
f(x) = x^7/3 + x^3/7.
Me ajudem por favor!!

Soluções para a tarefa

Respondido por CyberKirito

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https://brainly.com.br/tarefa/34489876

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$\boxed{\sf{\underline{Integral~da~pot\hat{e}ncia}}}\\\huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\displaystyle\sf\int x^n~dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1},n\ne-1}}}}$

$\displaystyle\sf\int x^{\frac{7}{3}}+x^{\frac{3}{7}}~dx=\dfrac{x^{\frac{7}{3}+1}}{\frac{7}{3}+1}+\dfrac{x^{\frac{3}{7}+1}}{\frac{3}{7}+1}+c\\\displaystyle\sf\int x^{\frac{7}{3}}+x^{\frac{3}{7}}~dx=\dfrac{x^{\frac{10}{3}}}{\frac{10}{3}}+\dfrac{x^{\frac{10}{7}}}{\frac{10}{7}}+c$

$\displaystyle\sf\int x^{\frac{7}{3}}+x^{\frac{3}{7}}~dx=\dfrac{3}{10}x^{\frac{10}{3}}+\dfrac{7}{10}x^{\frac{10}{7}}+c$

Respondido por solkarped

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a primitiva ou antiderivada ou integral indefinida da referida função é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf F(x) = \int (x^{\frac{7}{3}} + x^{\frac{3}{7}})\,dx = \frac{3x^{\frac{10}{3}}}{10} + \frac{7x^{\frac{10}{7}}}{10} + k\:\:\:}}\end{gathered}$}$

Seja a função:

$\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt f(x) = x^{\frac{7}{3}} + x^{\frac{3}{7}}\end{gathered}$}$

Para calcular a primitiva ou antiderivada ou integral indefinida de uma determinada função devemos levar em consideração a seguinte regra de primitivação:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt \term{Se}\:f(x) = x^{n} \Longrightarrow F(x) = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + k,\:\:\:n\neq-1,\:\:\forall k \in \mathbb{R}\end{gathered}$}$

Então, calculando a primitiva, temos:

$\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt F(x) = \int f(x)\,dx\end{gathered}$}$

$\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt = \int (x^{\frac{7}{3}} + x^{\frac{3}{7}})\,dx\end{gathered}$}$

$\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt = \frac{x^{\frac{7}{3} + 1}}{\frac{7}{3} + 1} + \frac{x^{\frac{3}{7} + 1}}{\frac{3}{7} + 1} + k\end{gathered}$}$

$\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt = \frac{x^{\frac{10}{3}}}{\frac{10}{3}} + \frac{x^{\frac{10}{7}}}{\frac{10}{7}} + k\end{gathered}$}$

$\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt = \frac{3}{10}\cdot x^{\frac{10}{3}} + \frac{7}{10}\cdot x^{\frac{10}{7}} + k\end{gathered}$}$

$\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt = \frac{3x^{\frac{10}{3}}}{10} + \frac{7x^{\frac{10}{7}}}{10} + k\end{gathered}$}$

✅ Portanto, a primitiva da função é:

$\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt F(x) = \int (x^{\frac{7}{3}} + x^{\frac{3}{7}})\,dx = \frac{3x^{\frac{10}{3}}}{10} + \frac{7x^{\frac{10}{7}}}{10} + k \end{gathered}$}$