Question

Calcule a potência de i^191

Answer 1

Resposta:

Divida o expoente por quatro, irá restar somente 3, então é igual a i^3, que é -i

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o valor do número complexo procurado é:

          $\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf z = -i\:\:\:}}\end{gathered} }$

Seja o número complexo:

              $\LARGE\displaystyle\begin{gathered} z = i^{191}\end{gathered}$

Para resolver esta questão devemos lembrar as seguintes propriedades da unidade imaginária "i":

              $\LARGE\begin{cases} i^{0} = 1\\i^{1} = i\\i^{2} = -1\\i^{3} = -i\end{cases}$

Se o número complexo dado pode se escrito como uma potência "P" de "i", ou seja:

                   $\LARGE\displaystyle\begin{gathered} z = i^{P}\end{gathered}$

Então, podemos reduzir esta potência à menor potência possível de "i" igualando "P" ao resto da divisão de "P" por "4", ou seja:

                   $\LARGE\displaystyle\begin{gathered} z = i^{r}\end{gathered}$

Para calcular este resto, devemos utilizar a seguinte fórmula:

        $\LARGE\displaystyle\begin{gathered} r = P - 4\cdot\bigg\lfloor\frac{P}{4}\bigg\rfloor\end{gathered}$

OBSERVAÇÃO:

A seguinte formula...

                       $\LARGE\displaystyle\begin{gathered} \bigg\lfloor\frac{P}{4}\bigg\rfloor\end{gathered}$

...representa o piso do quociente entre o valor de "P" e "4".

Desta forma, temos:

$\LARGE\displaystyle\begin{gathered} \bf I\end{gathered}$           $\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} z = i^{P - 4\cdot\bigg\lfloor\dfrac{P}{4}\bigg\rfloor}\end{gathered} }$

Sendo:

                    $\LARGE\displaystyle\begin{gathered} P = 191\end{gathered}$    

Substituindo o valor de "P" na equação "I", temos:

         $\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} z = i^{191 - 4\cdot\bigg\lfloor\dfrac{191}{4}\bigg\rfloor} \end{gathered} }$

             $\LARGE\displaystyle\begin{gathered} = i^{191 - 4\cdot \lfloor47,75\rfloor}\end{gathered}$

             $\LARGE\displaystyle\begin{gathered} = i^{191 - 4\cdot47}\end{gathered}$

             $\LARGE\displaystyle\begin{gathered} = i^{191 - 188}\end{gathered}$

             $\LARGE\displaystyle\begin{gathered} = i^{3}\end{gathered}$

             $\LARGE\displaystyle\begin{gathered} = i^{2}\cdot i\end{gathered}$

             $\LARGE\displaystyle\begin{gathered} = -1\cdot i\end{gathered}$

             $\LARGE\displaystyle\begin{gathered} = -i\end{gathered}$

✅ Portanto, o valor do número complexo é:

        $\LARGE\displaystyle\begin{gathered} z = -i\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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