Question

Calcule a medida da determinação principal dos arcos de medida:
a) 29π/7
b)20π/3
c)26π/5
d)13π/3
e)-5π/3
f)-29π/5
g)-37π/7

Answer 1

Oi Sthefany,

A determinação principal de um arco com mais de uma volta trigonométrica é a medida que sobra após "n" voltar completas no ciclo trigonométrica. Como sabemos que uma volta completa tem 2π, podemos separar a fração que representa o arco em partes inteiras e a determinação principal, veja:
$a) \\ \\ \frac{29\pi}{7} = \frac{28\pi}{7} + \frac{\pi}{7} = 4\pi+ \frac{\pi}{7}$

Veja que 4π é um valor inteiro e representa 2 voltas completas (já que cada uma tem 2π). Logo, o restante (π/7) é justamente a determinação principal do arco, ou seja, o tanto que ele excedeu após a sua última volta completa. neste caso, é π/7.

Usando esse raciocínio, vamos fazer para os outros:
$b) \\ \\ \frac{20\pi}{3}= \frac{18\pi}{3}+ \frac{2\pi}{3} = 6\pi+ \boxed{\frac{2\pi}{3} }$

$c) \\ \\ \frac{26\pi}{5}= \frac{20\pi}{5}+ \frac{5\pi}{5} =  4\pi+ \boxed{\pi }$

$d) \\ \\ \frac{13\pi}{3}= \frac{12\pi}{3}+ \frac{\pi}{3} = 4\pi+ \boxed{\frac{\pi}{3} }$

Já para os arcos negativos é um pouco diferente. Devemos fazer o mesmo procedimento, mas, como um arco negativo segue o sentido horário no ciclo trigonométrico, o resto da separação encontrada não é de fato a determinação principal do arco. Devemos subtrair 2π dela para obter o valor verdadeiro, veja:
$e) \\ \\ -\frac{5\pi}{3}= 2\pi-(-\frac{5\pi}{3}) = 2\pi+ \boxed{\frac{5\pi}{3}}$

$f) \\ \\ -\frac{29\pi}{5}= \frac{20\pi}{5} +\frac{9\pi}{5} = 4\pi+ \frac{9\pi}{5}\\ \\ 2\pi- \frac{9\pi}{5}=\boxed{\frac{\pi}{5}}$

$g) \\ \\ -\frac{37\pi}{7}= \frac{28\pi}{7} +\frac{9\pi}{7} = 4\pi+ \frac{9\pi}{7}\\ \\ 2\pi- \frac{9\pi}{7}=\boxed{\frac{5\pi}{7}}$

Bons estudos!