Question

!!!! Calcule a medida da aresta da base de uma pirâmide quadrangular regular, sabendo que o apótema da pirâmide mede 4 cm e a aresta lateral mede 5 cm.

Answer 1

Resposta:

A área total da pirâmide é igual a 94,88 cm²

Explicação passo-a-passo:

A área total (At) da pirâmide é igual à soma da área da base (Ab) com a área lateral (AL):

At = Ab + AL

Acompanhe na figura do anexo:

1. Como calcular a área da base (Ab), que é o quadrado BCDE:

- um dos lados do quadrado é BC

- BD é a diagonal do quadrado

- BO é a metade da diagonal BD

- BO é cateto do triângulo retângulo ABO, no qual:

- AB é a aresta lateral da pirâmide (5 cm) e é hipotenusa de ABO

- AO é altura da pirâmide (4 cm) e cateto do triângulo ABO

1.1 - Para calcular BO, aplique o Teorema de Pitágoras:

AB² = AO² + BO²

5² = 4² + BO²

BO² = 25 - 16

BO = √9

BO = 3 cm

Então, a diagonal BD mede:

BD = 2 × 3 cm

BD = 6 cm

Como você conhece a medida da diagonal do quadrado pode obter a medida do seu lado, pois a diagonal de um quadrado é igual a:

BD = BC × √2

BC = BD/√2

BC = 6 cm ÷ √2 (lado do quadrado da base)

Então, como a área de um quadrado é igual ao lado elevado ao quadrado, a área da base é igual a:

Ab = (6 cm ÷ √2)²

Ab = 36 cm² ÷ 2

Ab = 18 cm² (Área da base da pirâmide)

2. Como calcular a área lateral da pirâmide:

A área lateral (AL) da pirâmide é igual à soma das áreas dos 4 triângulos isósceles:

AL = ABC + ACD + ADE + ABE

Vamos calcular a área do triângulo ACD, que é igual à metade do produto da base (CD) pela altura (AM):

ACD = (CD × AM) ÷ 2

Conhecemos a medida de CD (lado do quadrado da base), mas precisamos obter a medida da altura (AM).

Note que AM é cateto do triângulo retângulo ACM, no qual:

- AC é hipotenusa do triângulo e aresta lateral da pirâmide (5 cm)

- CM é metade do lado da base (6 cm ÷ √2) e cateto do triângulo:

CM = CD/2

CM = 3 cm ÷ √2

- AM é a altura da face do triângulo lateral e outro cateto do triângulo ACM

Aplique o Teorema de Pitágoras:

AC² = AM² + CM²

AM² = AC² - CM²

AM² = 5² - (3/√2)²

AM² = 25 - 4,5

AM = √20,5

AM = 4,53 cm

A área de cada um dos triângulos que formam as faces laterais da pirâmide, então, é igual a:

ACD = (6/√2) × 4,53

ACD = 19,22 cm²

Como são 4 os triângulos, a área lateral é igual a:

AL = 4 × 19,22 cm²

AL = 76,88 cm²

3. Cálculo da área total:

Como vimos lá no início, é igual à área da base, mais a área lateral:

At = Ab + AL

At = 18 cm² + 76,88 cm²

At = 94,88 cm²

Explicação passo-a-passo:

espero ter ajudado