Question

Calcule a matriz utilizando a regra de cramer.
(Com resolução se possível por favor)


x+2y+z=7

2x+7y+z=24

-3x-5y+2z=-8

Answer 1

Após a realização dos cálculos, concluímos que o conjunto solução do sistema pelo método de Cramer é

$\sf S=\bigg\{\bigg(-\dfrac{43}{16},\dfrac{63}{16},\dfrac{29}{16}\bigg)\bigg\}$

Método de Cramer

Seja S um sistema linear com número de equações igual ao de incógnitas. Se D≠0, então o sistema será  possível e terá solução única

$\sf (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\dotsc,\alpha_n)$ tal que

$\sf \alpha_i=\dfrac{D_i}{D}~~\forall i\in\{1,2,3,\dotsc,n\}$

Ou seja desde que o determinante formado pela matriz quadrada dos coeficientes não seja zero,  o sistema terá solução possível.

Expressão matricial de um sistema linear

Considere o sistema linear a seguir:

$\begin{cases}\sf a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3+\dotsc+a_{1n}x_n=b_1\\\sf a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3+\dotsc+a_{2n}x_n=b_2\\\sf a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3+\dotsc+a_{3n}x_n=b_3\end{cases}$

Chama-se expressão matricial de um sistema linear quando escrevemos este sistema como o produto da matriz quadrada dos coeficientes pela matriz coluna das variáveis resultando na matriz coluna dos termos independentes

portanto o sistema anterior pode ser escrito assim:

$\begin{bmatrix}\sf a_{11}&\sf a_{12}&\sf a_{13}&\dotsc \sf a_{1n}\\\sf a_{21}&\sf a_{22}&\sf a_{23}&\dotsc \sf a_{2n}\\\sf a_{31}&\sf a_{32}&\sf a_{33}&\dotsc \sf a_{3n}\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}\sf x_1\\\sf x_2\\\sf x_3\\\vdots\\\sf x_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\sf b_1\\\sf b_2\\\sf b_3\\\vdots\\\sf b_n\end{bmatrix}$

Vamos a resolução da questão

$\begin{cases}\sf x+2y+z=7\\\sf 2x+7y+z=24\\\sf -3x-5y+2z=-8\end{cases}$

A representação matricial deste sistema linear será

$\large\boxed{\begin{array}{l}\begin{bmatrix}\sf 1&\sf2&\sf1\\\sf2&\sf7&\sf1\\\sf-3&\sf-5&\sf2\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}\sf x\\\sf y\\\sf z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\sf 7\\\sf24\\\sf-8\end{bmatrix}\end{array}}$

Chamando de A a matriz quadrada dos coeficientes e calculando o determinante  temos:

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf A=\begin{bmatrix}\sf 1&\sf2&\sf1\\\sf2&\sf7&\sf1\\\sf-3&\sf-5&\sf2\end{bmatrix}\\\\\sf det\,A=1\cdot(14+5)-2\cdot(4+3)+1\cdot(-10+21)\\\sf det\,A=19-14+11\\\sf det\,A=16\end{array}}$

vamos obter a matriz $\sf A_x$ substituindo a coluna dos coeficientes de x pela coluna dos termos independentes e obter o determinante:

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf A_x=\begin{bmatrix}\sf7&\sf2&\sf1\\\sf24&\sf7&\sf1\\\sf-8&\sf-5&\sf2\end{bmatrix}\\\sf det\,A_x= 7\cdot(14+5)-2\cdot(48+8)+1\cdot(-120+56)\\\sf det\,A_x=133-112-64\\\sf det\,A_x=-43\end{array}}$

vamos obter a matriz $\sf A_y$ substituindo a coluna dos coeficientes de y pela coluna dos termos independentes e obter o determinante:

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf A_y=\begin{bmatrix}\sf1&\sf7&\sf1\\\sf2&\sf24&\sf1\\\sf-3&\sf-8&\sf2\end{bmatrix}\\\sf det\,A_y=1\cdot(48+8)-7\cdot(4+3)+1\cdot(-16+72)\\\sf det\,A_y=56-49+56=63\end{array}}$

vamos obter a matriz $\sf A_z$ substituindo a coluna dos coeficientes de z pela coluna dos termos independentes e obter o determinante:

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf A_z=\begin{bmatrix}\sf1&\sf2&\sf7\\\sf2&\sf7&\sf24\\\sf-3&\sf-5&\sf-8\end{bmatrix}\\\sf det\,A_z=1\cdot(-56+120)-2\cdot(-16+72)+7\cdot(-10+21)\\\sf det\,A_z=64-112+77=29\end{array}}$

Pelo  teorema de Cramer podemos escrever:

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf x=\dfrac{det\,A_x}{det\,A}=-\dfrac{43}{16}\\\\\sf y=\dfrac{det\,A_y}{det\,A}=\dfrac{63}{16}\\\\\sf z=\dfrac{det\,A_z}{det\,A}=\dfrac{29}{16}\end{array}}$

Saiba mais em:

brainly.com.br/tarefa/46625839

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