Question

Calcule a matriz inversa de A= l1 2l
l3 4l?

Answer 1

Temos que encontrar a matriz inversa de $A$, que chamaremos de $A^{-1}$.

Uma matriz B é inversa de uma matriz C se pudermos escrever: 

$C . B = \textbf{1}$

Em que $\textbf{1}$ é a matriz identidade, com todos os elementos nulos, exceto os que estão localizados na diagonal principal, que são iguais a 1. (Ou seja, $a_{ij} \delta_{i,j}$)

Enfim, precisamos criar a matriz inversa e ela será a seguinte:

$A^{-1} = \left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\\\end{array}\right]$

Agora precisamos fazer o seguinte cálculo:

$A . A^{-1} = \textbf{1} \Rightarrow \left[\begin{array} {cc}1&2\\3&4\\\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\\\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\\\end{array}\right]$

Lembrando que o Produto entre matrizes é feito tomando as linhas da primeira matriz e multiplicando pela colunas da segunda. A ordem é importante para que o produto seja definido, ou seja, a quantidade de colunas da primeira tem que ser, obrigatoriamente, igual a quantidade de linhas da segunda.

Multiplicando, encontraremos os seguintes sistemas:

$\left \{ {{a + 2c = 1} \atop {3a + 4c = 0}} \right. \left \{ {{b + 2d = 0} \atop {3b + 4d = 1}} \right.$

Vale ressaltar que temos 4 equações com 4 incógnitas, então o sistema é possível e determinado. Só que nesse caso é ainda mais fácil, o que nos permite subdividir em 2 sistemas como foi feito acima. Logo, podemos resolver separadamente usando os métodos que forem mais convenientes. Farei o primeiro por ADIÇÃO e o segundo por SUBSTITUIÇÃO:

Primeiro sistema: com "a" e "c".

$\left \{ {{a + 2c = 1} \atop {3a + 4c = 0}} \right.$

Multiplicando a primeira equação por "-2" temos:

$\left \{ {{-2a -4c = -2} \atop {3a + 4c = 0}} \right.$

Agora somaremos as equações, percebendo que não sobrará termos com "c":

$3a - 2a = -2 \rightarrow a = -2$

Substituindo isso em uma delas encontraremos que $c = \frac{3}{2}$.

Agora vamos ao outro sistema.

Segundo sistema: com "b" e "d". 

$\left \{ {{b + 2d = 0} \atop {3b + 4d = 0}} \right.$

Isolando o valor de "b" na primeira equação teremos: $b = -2d$. Substituindo na segunda equação encontraremos:

$3.(-2d) + 4d = 1 \rightarrow -6d + 4d = 1 \rightarrow -2d = 1 \rightarrow d = \frac{-1}{2}$

Sendo assim, substituindo o valor que encontramos de "d" em alguma equação, acharemos para "b": $b = 1$.

Assim, basta substituir esses 4 valores encontrados na matriz inversa original.

$A^{-1} = \left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\\\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}-2&1\\\frac{3}{2}&\frac{-1}{2}\\\end{array}\right]$

Para verificar que está correto basta multiplicar a matriz original pela inversa que encontrarmos e confirmar que dará a identidade 2 x 2.

Obs: Esse passo-a-passo é importante sempre. Uma vez que se entende, pode ser aplicado em qualquer caso de matriz, mesmo que a ordem aumente. A dificuldade está nos termos e no sistema que encontrará, mas a ideia é bastante simples e direta.

Espero ter ajudado.
Bons estudos!