Question

Calcule a matriz inversa da matriz A= $\left[\begin{array}{ccc}1&-1&0\\2&3&0\\0&1&4\end{array}\right]$

Answer 1

1     -1     0      |      1       0     0

2     3     0     |     0       1      0

0     1     4      |     0      0      1

L2= L2-2L1

1     -1     0      |      1       0     0

0     5     0     |     -2       1      0

0     1     4      |       0      0      1

L2=l2-4L3

1     -1     0      |      1       0     0

0     1   -16     |     -2       1      -4

0     1     4      |       0      0      1

L3=L3-L2

1     -1     0      |      1       0     0

0     1   -16     |     -2       1      -4

0    0   20      |     2     -1        5

L3=(1/20)* L3

1     -1     0      |       1           0        0

0     1   -16     |      -2           1         -4

0    0      1      |    0,1      -0,05        0,25

L2=L2+16L1

1     -1     0      |       1           0            0

0     1     0     |     -0,4        0,2           0

0    0      1      |      0,1      -0,05        0,25

L1=L1+L2

1     0     0      |     0,6        0,2            0

0     1     0     |     -0,4        0,2            0

0    0      1      |      0,1      -0,05        0,25

inversa de A

0,6        0,2            0

-0,4        0,2            0

0,1      -0,05        0,25

Answer 2

$A= \left[\begin{array}{ccc}1&-1&0\\2&3&0\\0&1&4\end{array}\right]$

$A^{-1} =\left[\begin{array}{ccc}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{array}\right]$

Para obter a matriz inversa realizamos os seguintes procedimenos:

Desnhamos a matriz A, mas no final dela (lado direito) continuamos a linha como se fosse a matriz inversa, obtendo algo desse tipo:

$\left[\begin{array}{ccc}1&-1&0\\2&3&0\\0&1&4\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]$

Chamamos a primeira linha de L1, a segunda de L2 e a terceira de L3.

Efetuamos as operações necesárias para que a matriz da esquerda torne-se a identidade, mas realizamos as mesmas operações com a matriz da direita. A matriz da direita será a inversa.

Operações a serem realizadas:

Linha 1 : Somar com L3  

Linha 2 : Subtrair 2*L1 (agora que mudamos L1, esta deverá ser usada do jeito que ela está mudada)

Linha 2: Somar 2*L3

Linha 3: Subtrair \frac{L2}{5}  

Linha 1: Subtrair L3

Linha 2: Dividir por 5

Linha 3: Dividir por 4

Então termos:

$\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0 &1&0\\0&0&1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\frac{3}{5} &\frac{1}{5} &0\\-\frac{2}{5} &\frac{1}{5} &0\\\frac{1}{10} &-\frac{1}{20}&\frac{1}{4} \end{array}\right$

Logo

$A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{3}{5} &\frac{1}{5} &0\\-\frac{2}{5} &\frac{1}{5} &0\\\frac{1}{10} &-\frac{1}{20}&\frac{1}{4} \end{array}\right$