Question

Calcule a massa do fio retilíneo AO e assinale a alternativa correta, onde "O" é a origem, "A" = (1,1) e a densidade dada por δ = 3xy. (imagem)

Answer 1

Olá, boa tarde.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre a massa de curvas de gráficos de funções.

A massa de uma curva que representa a densidade de um corpo dada por $\delta(x,~y)$ é calculada pela integral de linha sobre a curva $C$: $\displaystyle{\int_C\delta(x,~y)\,ds}$.

Assim, seja um fio retilíneo $\overline{AO}$, em que $O$ é a origem do plano e $A=(1,~1)$. Devemos calcular sua massa, quando sua densidade é dada por $\delta(x,~y)=3xy$.

Primeiro, parametrizamos a curva. A parametrização de um segmento de reta $r(x(t),~y(t))=r(t)$ cujo ponto inicial é $r_0(t)$ e ponto final é $r_1(t)$ é dado por $r_0(t)+t\cdot r_1(t),~0\leq t\leq1$.

Assim, teremos:

$r(t)=(0,~0)+t\cdot(1,~1)$

Efetue a propriedade distributiva e some os elementos

$r(t)=(0,~0)+(t,~t)\\\\\\ r(t)=(t,~t)$

Então, calculamos o diferencial $ds$, sabendo que $\dfrac{ds}{dt}=|r'(t)|$.

$\dfrac{ds}{dt}=|(t',~t')|$

Calcule as derivadas, utilizando a regra da potência: $(t^n)'=n\cdot t^{n-1}$

$\dfrac{ds}{dt}=|(1,~1)|$

Lembre-se que o módulo de um vetor é calculado pela fórmula: $|(a,~b)|=\sqrt{a^2+b^2}$. Assim, teremos:

$\dfrac{ds}{dt}=\sqrt{1^2+1^2}\\\\\\ \dfrac{ds}{dt}=\sqrt{1+1}\\\\\\ \dfrac{ds}{dt}=\sqrt{2}$

Multiplique ambos os lados da igualdade pelo diferencial $dt$

$ds=\sqrt{2}\cdot dt$

Sabendo que podemos reescrever a integral de linha, em $C$ como: $\displaystyle{\int_C\delta(x,~y)\,ds=\int_0^1\delta(x(t),~y(t))\cdot|r'(t)|\,dt}$, temos:

$\displaystyle{\int_0^13\cdot t\cdot t\cdot\sqrt{2}\,dt}$

Aplique a regra da constante: $\displaystyle{\int a\cdot f(t)\,dt=a\cdot\int f(t)\,dt}$ e multiplique os termos

$\displaystyle{3\sqrt{2}\cdot\int_0^1t^2\,dt}$

Aplique a regra da potência: $\displaystyle{\int t^n\,dt=\dfrac{t^{n+1}}{n+1}}$ e multiplique os termos

$3\sqrt{2}\cdot \dfrac{t^{2+1}}{2+1}~\biggr|_0^1\\\\\\ 3\sqrt{2}\cdot\dfrac{t^3}{3}~\biggr|_0^1\\\\\\ \sqrt{2}\cdot t^3~\biggr|_0^1$

Aplique os limites de integração, de acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int_a^b f(t)\,dt=F(t)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)}$, em que $F(t)$ é a antiderivada de $f(t)$

$\sqrt{2}\cdot(1^3-0^3)$

Calcule as potências, some e multiplique os valores

$\sqrt{2}\cdot(1-0)\\\\\\ \sqrt{2}\cdot1\\\\\\ \sqrt{2}~\bold{u.~m}$

u. m significa unidade de massa.

Esta é a massa do fio retilíneo $\overline{AO}$ e é a resposta contida na letra a).