Question

Calcule a massa da placa LaTeX: x^2 + y^2 \leqslant 25x2+y2⩽25 no plano LaTeX: OxyOxy com densidade LaTeX: \delta(x, y) = \sqrt{x^2 + y^2}δ(x,y)=x2+y2.




LaTeX: \frac{125\pi}{3}



Nenhuma das alternativas.



LaTeX: 250\pi




LaTeX: \frac{250\pi}{3}




LaTeX: 25\pi

Answer 1

Olá!

Os valores da densidade e da equação da placa não ficaram muito claros, mas vou mostrar passo a passo para calcular a massa de uma placa qualquer com quaisquer valores de densidade .

Para calcular o valor da massa, precisamos saber a densidade superficial da placa, pois o valor da massa é:

$m\:=\:\sigma \cdot A$

Neste tipo de exercício, a densidade não costuma ser constante, ou seja, ela depende das dimensões x e y da placa, com isso, cada pedaço da placa vai ter um peso diferente de acordo com a densidade naquele local, portanto, devemos somar cada variação infinitesimal (dm) que é dado pela seguinte fórmula:

$dm\:=\:\sigma \left(x,y\right)\cdot dA$

$\int \:dm\:=\:\int \:\sigma \left(x,y\right)\cdot dA$

$m=\:\int \:\sigma \left(x,y\right)\cdot dA$

Portanto, basta apenas calcular essa integral com os limites da placa, que achamos a massa. Para achar os limites x e y, convém esboçar um gráfico da função, dessa forma fica mais fácil encontrar os valores e resolver a questão.

Espero ter ajudado!