Question

Calcule a massa da esfera sólida de raio (a) com densidade proporcional á distância ao centro (Tomando k como a constante de proporcionalidade)

Answer 1

Olá jasci!

A integral de uma massa no espaço tridimensional é dado por:

M =  ∫ ∫ ∫  δ(x, y, z)DV
          G

Mas como  o seu domínio é uma esfera, seria obvio trocarmos de variavel.

Fazendo:

x = ρSen(α)Cos(β)

y = pSen(α)Sen(β)

O módulo do jacobiano = ρ²Sen(α)

O dominio de integração:
 

0 ≤ α ≤ 2π

0 ≤  β ≤ π

0 ≤    ρ  ≤ a
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A nossa função densidade é proporcional ao centro. Isso nos indica que:

δ(x, y, z) = kр  <= Raio da esfera

Iremos reescrever desse modo dentro de nossa integral.


$M = \int\limits {} \, \int\limits {} \, \int\limits {} \, kp|jac|dpd \beta d \alpha$

Observe que não temos termos com variável "ALFA"

Como alfa varia de "0 a 2π"


$\\ M = 2 \pi \int\limits^ \pi _ { 0} \, \int\limits^a_0 {kp|jac|} \, dpd \beta \\ \\ M = 2 \pi \int\limits^ \pi _ { 0} \, \int\limits^a_0 {kp*p^2Sen( \beta )} \, dpd \beta \\ \\ M = 2 \pi \int\limits^ \pi _ { 0} \, \int\limits^a_0 {kp^3Sen( \beta )} \, dpd \beta \\ \\ M = 2 \pi \int\limits^ \pi _0 {} \, [ \frac{kp^4}{4} ](0,a)Sen( \beta )d \beta \\ \\ M = 2 \pi \int\limits^ \pi _0 {} \, [ \frac{ka^4}{4} ]Sen( \beta )d \beta$


$\\ M = 2 \pi \int\limits^ \pi _0 {} \, [ \frac{ka^4}{4} ]Sen( \beta )d \beta \\ \\ M = \frac{2 \pi *ka^4}{4} \int\limits^ \pi _0 {Sen( \beta )} \, d \beta \\ \\ M = \frac{ \pi ka^4}{2} [ -Cos \beta ](0, \pi ) \\ \\ M = \frac{ \pi ka^4}{2} [ -Cos \pi - (-Cos(0)) ] \\ \\ M = \frac{ \pi ka^4}{2} [ -(-1)-(-1)] \\ \\ M = \frac{ \pi ka^4}{2} * [ 2] \\ \\ M = \pi ka^4$