Question

Calcule a integral ∫∫ (x³ + x.y) dA, onde R é a região delimitada pelas curvas y = x² e y = 2x

Answer 1

Região de integração
 0 < x <  2
 x²< y < 2x

2      2x
∫      ∫     x³   + x*y      dy  dx
0     x²

2                      2x
∫   [y x³ + x*y²/2]       dx
0                       x²

2                     
∫   [2x* x³ + x*(2x)²/2 -x²*x³-x*(x²)²/2]       dx
0        

2                     
∫   [2x⁴+ 2x³ -x⁵-x⁵/2]       dx
0     

2                     
∫   [2x⁴+ 2x³ -3x⁵/2]       dx
0       

                                     2                     
=  [2x⁵/5+ 2x⁴/4 -3x⁶/12 ]     
                                    0     


                                     2                     
=  [2x⁵/5  +  x⁴/2 -x⁶/4 ]     
                                    0        

= 64/5 +  16/2  - 64/4         

= 64/5 +  32/4  - 64/4        

= 64/5 -32/4        = ( 64*4-5*32) /20      =96/20 =24/5  unid. área