Question

Calcule a integral usando integração por frações parciais:

$\frac{x^2+48}{x(x^2-16)}$

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

\frac{x^2+48}{x(x^2-16)}=\frac{x^2+48}{x(x-4)(x+4)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-4}+\frac{C}{x+4}=\frac{A(x-4)(x+4)+Bx((x+4)+Cx(x-4)}{x(x-4)(x+4)}\\\\x^2+48=A(x-4)(x+4)+Bx(x+4)+Cx(x-4)[/tex]

Vamos atribuir valores convenientes a x para determinar A, B e C.

p/x = 4 ⇒ 4² + 48 = B.4(4 + 4) ⇒ 64 = 32B ⇒ B = 2

p/x = -4 ⇒ (-4)² + 48 = C(-4)(-4-4) ⇒ 64 = 32C ⇒ C = 2

p/x = 0 ⇒ 0² + 48 = A(0-4)(0 + 4) ⇒ 48 = -16A ⇒ A = -3

$\int\limits {}\frac{x^2+48}{x(x^2-16)}\,dx= \int\limits {}(\frac{-3}{x}+\frac{2}{x-4}+\frac{2}{x+4})\,dx=-3ln|x|+2ln|x-4|+2ln|x+4|+c$$=-3ln|x| +2ln|(x-4)(x+4)+c =-3ln|x|+2ln(x^2-16)+c$