Question

calcule a integral urgente ​

Answer 1

Resolução da questão, veja bem.

Calcular a integral:

$\mathsf{\displaystyle\int \dfrac{2x}{3x^2+4}~dx}$

Iniciamos fazendo a seguinte substituição:

$\left\{\begin{matrix}\sf{u=3x^2+4}\\ \sf{dx=\dfrac{1}{6x}~du}\end{matrix}\right.$

Então podemos reescrever a integral dada na questão da seguinte forma :

$\mathsf{\displaystyle\int \dfrac{2x}{3x^2+4}~dx}=\mathsf{\dfrac{1}{3}\displaystyle\int \dfrac{1}{u}~du}\\ \\ \\ \mathsf{\dfrac{1}{3}\displaystyle\int \dfrac{1}{u}~du}=\mathsf{\dfrac{1}{3}~\cdot~ln|u|}\\ \\ \\ \mathsf{\dfrac{1}{3}\displaystyle\int \dfrac{1}{u}~du}=\mathsf{\dfrac{ln|u|}{3}+K}$

Agora retornaremos para a variável original da integral (x) :

$\mathsf{\dfrac{1}{3}\displaystyle\int \dfrac{1}{u}~du}=\mathsf{\dfrac{ln|u|}{3}+K}\\ \\ \\ \mathsf{\displaystyle\int \dfrac{2x}{3x^2+4}~dx=\dfrac{ln|3x^2+4|}{3}+K}\\ \\ \\ \Large\boxed{\boxed{\boxed{\mathsf{\displaystyle\int \dfrac{2x}{3x^2+4}~dx}=\sf{\dfrac{ln(3x^2+4)}{3}+K}}}}}$

Espero que te ajude!!

Bons estudos!!

Answer 2

Olá, boa tarde ☺

Resolução:

$\int \left( \dfrac{2x}{3x^2 + 4} \right) \ dx$

Seja u = 3x² + 4 e sua derivada u'=6x. Então temos os seguintes cálculos:

$\int \left( \dfrac{2x}{u} \right)\ \dfrac{du}{6x} \\ \\ \\ \dfrac{1}{3} \int \left( \dfrac{1}{u} \right) \ du \\ \\ \\ \dfrac{\ln|u|}{3} +c$

Substituindo u por 3x² +4 temos a seguinte resposta:

$\boxed{\boxed{\frac{\ln|3x^2 + 4|}{3} +c}}$

Bons estudos :)