Matemática, perguntado por erikafreitas156, 6 meses atrás

Calcule a integral tripla a seguir: em que R = [-1, 1] x [-1, 1] x [-1, 1], e assinale a alternativa correta: Alternativas Alternativa 1: 1/2. Alternativa 2: 2/3. Alternativa 3: 5/2. Alternativa 4: 8/27. Alternativa 5: 9/20.

Anexos:

alexluza: Um help é bem vindo

Soluções para a tarefa

Respondido por ComandoAlfa

➜ (4) A partir dos conhecimentos sobre Integrais Múltiplas, concluímos que o resultado da integral tripla é 8/27.

☞ A integral tripla de $\large{\text{$f(x,y,z)$}}$ sobre a região V é:

$\Large{\text{$\displaystyle\iiint_{V} f( x,y,z) dV$}}$

☞ Se a região V for limitada por $\large{\text{$z_{1} ,\ z_{2} ,\ y_{1} ,\ y_{2} ,\ x_{1} ,\ x_{2}$}}$ , a integral tripla

$\Large{\text{$\displaystyle=\int _{x_{1}}^{x_{2}}\int _{y_{1}}^{y_{2}}\int _{z_{1}}^{z_{2}} f( x,y,z) dzdydx$}}$

♦︎ Na sua questão, temos:

$\large{\text{$\begin{cases}-1\leqslant x\leqslant 1\\-1\leqslant y\leqslant 1\\-1\leqslant z\leqslant 1\\f( x,y,z) =x^{2} y^{2} z^{2}\end{cases}$}}$

∴ A integral tripla é $\large{\text{$\displaystyle\int _{-1}^{1}\int _{-1}^{1}\int _{-1}^{1} \ x^{2} y^{2} z^{2} \ dzdydx$}}$ .

Nesse caso, os limites de integração são constantes, ou seja, podemos integrar na ordem que quisermos.

Vamos integrar na ordem dz, dy, dx. Integramos primeiro em relação a z, tratando x e y como constantes. Depois integraremos o resultado em relação a y, mantendo x constante. E finalmente integraremos em relação a x.

$\large{\text{$ \begin{array}{l}\displaystyle\int _{-1}^{1}\int _{-1}^{1}\boxed{\int _{-1}^{1} \ x^{2} y^{2} z^{2} \ dz} dydx=\int _{-1}^{1}\int _{-1}^{1}\boxed{x^{2} y^{2}\frac{z^{3}}{3}\Bigl|_{-1}^{1}} dydx\\\\=\displaystyle\frac{1}{3}\int _{-1}^{1}\int _{-1}^{1}\boxed{x^{2} y^{2} z^{3}\Bigl|_{-1}^{1}} dydx\\\\=\displaystyle\frac{2}{3}\int _{-1}^{1}\boxed{\int _{-1}^{1} x^{2} y^{2} dy} dx\end{array}$}}$

$\large{\text{$ \begin{array}{l}=\displaystyle\frac{2}{9}\int _{-1}^{1}\boxed{x^{2} y^{3}\Bigl|_{-1}^{1}} dx\\\\=\displaystyle\frac{4}{9}\int _{-1}^{1} x^{2} dx\\\\=\frac{2}{27} x^{3}\Bigl|_{-1}^{1}\\\\=\frac{8}{27}\end{array}$}}$