Question

Calcule a integral: $\int x^3 \sqrt{7 - x^4}$

Resposta:
$- \frac{1}{6} (7 - {x}^{4} ) {}^{ \frac{3}{2} } + C$
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Answer 1

Temos a seguinte integral:

$\int x^3 \sqrt{7 - x^4} dx$

Normalmente, quando a integral é desse jeito, o método de resolução é o da substituição de variável, sendo quase sempre a função a ser derivada a que se encontra dentro do radical. Portanto vamos dizer que u = 7 - x⁴ e derivar:

$u = 7 - x {}^{4} \longrightarrow \frac{du}{dx} = - 4 {x}^{3}$

Note que temos que fazer aparecer o termo x³ isolado, então vamos passar o -4 dividindo "du":

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{ - \frac{du}{ 4} = x {}^{3} dx}$

Agora podemos fazer as substituições de "u":

$\int x {}^{3} dx \sqrt{7 - x {}^{4} } \longrightarrow \int - \frac{du}{4} . \sqrt{u }$

Removendo o termo constante -1/4 de dentro da integral, já que sabemos que constantes transitam livremente para dentro e fora da integral, então:

$- \frac{1}{4} \int \sqrt{u} \: du\longrightarrow - \frac{1}{4} \int u {}^{ \frac{1}{2} } du$

Aplicando a regra da potência, temos que:

$- \frac{1}{4} . \frac{u {}^{ \frac{1}{2} + 1} }{ \frac{1}{2} + 1} + k\longrightarrow - \frac{u {}^{ \frac{3}{2} } }{4. \frac{3}{2} } + k \\ \\ - \frac{u {}^{ \frac{3}{2} } }{6} + k\longrightarrow - \frac{(7 - x {}^{4}) {}^{ \frac{3}{2} } }{6} + k$

Portanto podemos concluir que:

$\boxed{ \int x^3 \sqrt{7 - x^4} dx = - \frac{(7 - x {}^{4} ) {}^{ \frac{3}{2} } }{6} + k, \: k \in\mathbb{R}}$

Espero ter ajudado