Question

Calcule a integral:
$\int_{}^{} \sqrt{1+ \sqrt{x} } \ dx$

Resposta:
$\frac{4}{5} (1 + \sqrt{x})^ \frac{5}{2} - \frac{4}{3} (1 + \sqrt{x})^ \frac{3}{2} + C$
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Answer 1

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$\sf\sqrt{1+\sqrt{x}}~dx\\\sf u=1+\sqrt{x}\implies x=(u-1)^2\\\sf dx=2(u-1)du\\\displaystyle\sf\int\sqrt{1+\sqrt{x}}~dx=\int\sqrt{u}\cdot2(u-1)du=2\int(u^{\frac{3}{2}}-u^{\frac{1}{2}})du\\\displaystyle\sf2\int(u^{\frac{3}{2}}-u^{\frac{1}{2}})du=2\cdot\dfrac{2}{5}u^{\frac{5}{2}}-2\cdot\dfrac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}+k\\\large\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\displaystyle\sf\int\sqrt{1+\sqrt{x}}~dx=\dfrac{4}{5}(1+\sqrt{x})^{\frac{5}{2}}-\dfrac{4}{3}(1+\sqrt{x})^{\frac{3}{2}}+k}}}}\blue{\checkmark}$

Answer 2

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$\large\green{\boxed{\rm~~~\gray{\displaystyle\int \sqrt{1 + \sqrt{\sf x}}\cdot dx}~\pink{=}~\blue{ \dfrac{4}{5} \cdot (1 + \sqrt{x})^{\frac{5}{2}} - \dfrac{4}{3} \cdot (1 + \sqrt{x})^{\frac{3}{2}} + C }~~~}}$

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$\green{\rm\underline{EXPLICAC_{\!\!\!,}\tilde{A}O\ PASSO{-}A{-}PASSO\ \ \ }}$✍

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☺lá, Atrosnauta, como tens passado nestes tempos de quarentena⁉ E os estudos à distância, como vão⁉ Espero que bem❗ Acompanhe a resolução abaixo. ✌

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$\huge\gray{\boxed{\sf\blue{~~\displaystyle\int \sqrt{1 + \sqrt{\sf x}} \cdot dx~~}}}$

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☔ Vamos resolver esta integral aplicando duas vezes o Método da Substituição (para resolver com somente uma substituição confira a resolução do @Rubens). Seja portanto:

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$\LARGE\blue{\text{ \sf U = \sqrt{x}~~~\pink{\Longrightarrow}~~~\gray{\boxed{\sf\blue{~~x = U^2~~}}} }}$

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e

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$\Large\blue{\text{ \sf \dfrac{dU}{dx} = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}~~~\pink{\Longrightarrow}~~~dx = 2\sqrt{x} \cdot dU~~~\pink{\Longrightarrow}~~~\gray{\boxed{\sf\blue{~~dx = 2U \cdot dU~~}}} }}$

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☔ Teremos portanto que:

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$\LARGE\blue{\text{ \sf \displaystyle\int \sf \sqrt{1 + \sqrt{\sf x}} \cdot dx }}$

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$\LARGE\blue{\sf = \displaystyle\int \sf \sqrt{\sf 1 + U} \cdot 2U \cdot dU }$

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☔ Uma propriedade da função Integral é que a integral do produto de um coeficiente por uma variável é equivalente ao produto do coeficiente pela integral da variável:

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$\Large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\sf \displaystyle\int a \cdot x \cdot dx = a \cdot \displaystyle\int x \cdot dx}&\\&&\\\end{array}}}}}$

$\LARGE\blue{\sf = 2 \cdot \displaystyle\int \sf U \cdot \sqrt{\sf 1 + U} \cdot dU }$

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☔ Seja portanto:

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$\LARGE\blue{\text{ \sf S = 1 + U~~~\pink{\Longrightarrow}~~~\gray{\boxed{\sf\blue{~~U = S - 1~~}}} }}$

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e

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$\LARGE\blue{\text{ \sf \dfrac{dS}{dU} = 1~~~\pink{\Longrightarrow}~~~\gray{\boxed{\sf\blue{~~dU = dS~~}}} }}$

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☔ Teremos portanto que:

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$\LARGE\blue{\sf 2 \cdot \displaystyle\int \sf U \cdot \sqrt{\sf 1 + U} \cdot dU}$

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$\LARGE\blue{\sf = 2 \cdot \displaystyle\int \sf (S - 1) \cdot \sqrt{S} \cdot dS }$

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$\LARGE\blue{\text{ \sf = 2 \cdot \displaystyle\int \sf (S - 1) \cdot S^{\frac{1}{2}} \cdot dS }}$

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$\LARGE\blue{\text{ \sf = 2 \cdot \displaystyle\int \sf (S \cdot S^{\frac{1}{2}} - S^{\frac{1}{2}}) \cdot dS }}$

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$\LARGE\blue{\text{ \sf = 2 \cdot \displaystyle\int \sf (S^{\frac{3}{2}} - S^{\frac{1}{2}}) \cdot dS }}$

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☔ Uma propriedade da função Integral é que a integral de uma diferença é equivalente à diferença das integrais:

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$\Large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\sf \displaystyle\int (a - b) \cdot dx = \displaystyle\int a \cdot dx - \displaystyle\int b \cdot dx}&\\&&\\\end{array}}}}}$

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$\LARGE\blue{\text{ \sf = 2 \cdot \displaystyle\int \sf S^{\frac{3}{2}} \cdot dS - 2 \cdot \displaystyle\int \sf S^{\frac{1}{2}} \cdot dS }}$

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☔ Temos que a integral de uma potência equivale ao produto do inverso do expoente somado a 1 pela potência com o expoente somado a 1 e tudo isto somado a uma constante:

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$\LARGE\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\sf \displaystyle\int x^n \cdot dx = \dfrac{x^{n+1}}{n + 1} + C = (n + 1)^{-1} \cdot x^{n + 1} + C}&\\&&\\\end{array}}}}}$

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$\LARGE\blue{\text{ \sf = 2 \cdot \left(\dfrac{5}{2}\right)^{-1} \cdot S^{\frac{5}{2}} - 2 \cdot \left(\dfrac{3}{2}\right)^{-1} \cdot S^{\frac{3}{2}} + C }}$

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$\LARGE\blue{\text{ \sf = 2 \cdot \dfrac{2}{5} \cdot S^{\frac{5}{2}} - 2 \cdot \dfrac{2}{3} \cdot S^{\frac{3}{2}} + C }}$

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$\LARGE\blue{\text{ \sf = \dfrac{4}{5} \cdot S^{\frac{5}{2}} - \dfrac{4}{3} \cdot S^{\frac{3}{2}} + C }}$

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☔ Retornando nosso valor de S teremos:

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$\LARGE\blue{\text{ \sf = \dfrac{4}{5} \cdot (1 + U)^{\frac{5}{2}} - \dfrac{4}{3} \cdot (1 + U)^{\frac{3}{2}} + C }}$

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☔ Retornando nosso valor de U teremos:

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$\LARGE\blue{\text{ \sf = \dfrac{4}{5} \cdot (1 + \sqrt{x})^{\frac{5}{2}} - \dfrac{4}{3} \cdot (1 + \sqrt{x})^{\frac{3}{2}} + C }}$

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$\large\green{\boxed{\rm~~~\gray{\displaystyle\int \sqrt{1 + \sqrt{\sf x}} \cdot dx}~\pink{=}~\blue{ \dfrac{4}{5} \cdot (1 + \sqrt{x})^{\frac{5}{2}} - \dfrac{4}{3} \cdot (1 + \sqrt{x})^{\frac{3}{2}} + C }~~~}}$ ✅

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$\bf\large\red{\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$☁

☕ $\bf\Large\blue{Bons\ estudos.}$

($\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios}$) ☄

$\bf\large\red{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad }}\LaTeX$✍

❄☃ $\sf(\gray{+}~\red{cores}~\blue{com}~\pink{o}~\orange{App}~\green{Brainly})$ ☘☀

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$\gray{"Absque~sudore~et~labore~nullum~opus~perfectum~est."}$