Question

Calcule a integral: $\int\limits^\frac{\pi }{3} _0\int\limits^4_0\int\limits^16-r^{2}_0 5(r-\frac{2}{3} )dz dr d0.$

Answer 1

1-) Faz a primeira integral:

- Coloca o 5*(r - 2/3) para fora da integral, porque será constante;

- integral de dz é z;

- substitui os limites da integral no z, ficando (16 - r²) - 0 = 16-r²

- a primeira integral fica, então, 5*(r - 2/3)*(16-r²)

2-) agora temos a segunda integral, com limites de 4 e 0 e dentro dela 5*(r - 2/3)*(16-r²) dr, que fica ativa 5*(16r-r³-(32/3)+((2*r²)/3)) => $5(-r^3 + \frac{2r^2}{3} + 16r - \frac{32}{3})$:

- Coloca o 5 pra fora, porque é constante;

- Integra cada partezinha em r (porque agora temos o dr), com a regra de "somar a potência e tombar dividindo" (rsrs);

- Substitui o 4 no r (nem precisa substituir o 0, zero, porque vai dar 0 essa parte);

3-) o resultado da última integral será integrada em dTETA da mesma forma que a anterior.

Acredito que já tenha dado pra entender o raciocínio. É muito trabalhoso desenvolver a resposta por esse sistema do Brainly. Espero que eu tenha ajudado!

Edição: resposta completa anexa (espero que eu não tenha errado nada rsrs)

cd616d05ff5afa0b58d5e54c71b79364.pdf