Matemática, perguntado por HawkinsN, 8 meses atrás

Calcule a integral: $\int\limits{cos*sen(senx)} \, dx$

Soluções para a tarefa

Respondido por joserafael3424

Resposta:

-cos(sen(x)) + k

Explicação passo-a-passo:

∫cos(x)*sen(sen(x))dx

Vamos aplicar o método da substituição

u = sen(x)

du = cos(x)dx

Substitua no integrando

∫sen(u)du

Pronto agora a integral do sen(u) = -cos(u)

-cos(u)

Voltamos pra x e adicionamos a constante

-cos(sen(x)) + k

HawkinsN: rapaz , obrigado por esclarecer , fiz um monte de integral e por algum motivo travei nessa

joserafael3424: De nada! Afinal serei um futuro professor esclarecer dúvidas fará parte do trabalho hahaha

HawkinsN: mas uma dúvida , é sen(senx), se a derivada do sen(x)=cos(x) o que aconteceu com o outro seno ?

HawkinsN: infelizmente cos(x) na questão está sem x

joserafael3424: Eu apliquei a substituição somente no seno do argumento, pois a derivada de seno é o cosseno, logo du = cos(x)dx, já obteria o du, e só ficaria com sen(u) que já é uma integral direta se fosse cos(senx) iria dar bem mais trabalho, pois se usássemos u = sen não apareceria o du, visto que du = cos(x)dx e teríamos cos(senx)dx.

joserafael3424: Essa é uma visão que você começa a ter depois de resolver várias integrais. Quando você chegar em integrais trigonométricas e por substituição trigonométricas terá essa visão com integrais envolvendo sen, cos, tg, etc.

Respondido por CyberKirito

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$\small\blue{\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\sf\int cos\cdot sen(sen\,x)~dx\\\underline{\rm fac_{\!\!,}a}\\\sf u=sen\,x\implies du=cos\,x~dx\\\underline{\tt substituindo~temos\!:}\\\displaystyle\sf\int cos\,x\cdot sen(sen\,x)~dx=\int sen\,u~du=-cos\,u+k\\\underline{\rm voltando~a~vari\acute avel~original~temos\!:}\\\displaystyle\sf\int cos\,x\cdot sen(sen\,x)~dx=-cos(sen\,x)+k\end{array}}}\green{\checkmark}$