Question

Calcule a integral:$\int_{}^{} \frac{ {x}^{2} }{2x - {x}^{2} } \: dx$

Resposta:
$- (x + 2\ln(x - 2))+ C$
​

Answer 1

$\int\frac{x^2}{2x-x^2}\;dx=\int\frac{x^2}{x(-x+2)}\;dx$

$\int\frac{x^2}{2x-x^2}\;dx=\int\frac{x}{-x+2}\;dx$

Devemos realizar agora a divisão entre x e -x+2, que pode ser facilmente realizado pelo método da chave:

$\begin{matrix}x&|&-x+2\\-\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;&=&=====\\x-2&&-1\\======\\2\end{matrix}$

Daí tiramos que $\frac{x}{-x+2}=-1+\frac{2}{-x+2}$, logo:

$\int\frac{x^2}{2x-x^2}\;dx=\int-1+\frac{2}{-x+2}\;dx$

$\int\frac{x^2}{2x-x^2}\;dx=\int-1\;dx+\int\frac{2}{-x+2}\;dx$

$\int\frac{x^2}{2x-x^2}\;dx=\int-1\;dx+2\int\frac{1}{-x+2}\;dx$

Considerando $-x+2=u$, temos que $\frac{du}{dx}=-1\therefore dx=-du$. Substituindo na 2º integral:

$\int\frac{x^2}{2x-x^2}\;dx=\int-1\;dx+2\int\frac{1}{u}\cdot(-1)\;du$

$\int\frac{x^2}{2x-x^2}\;dx=\int-1\;dx-2\int\frac{1}{u}\;du$

$\int\frac{x^2}{2x-x^2}\;dx=-x-2\ln(|u|)+C$

$\int\frac{x^2}{2x-x^2}\;dx=-x-2\ln(|-x+2|)+C$

Por propriedade do módulo, podemos dizer que $|-x+2|=|x-2|$, logo:

$\int\frac{x^2}{2x-x^2}\;dx=-x-2\ln(|x-2|)+C$

$\int\frac{x^2}{2x-x^2}\;dx=-[x+2\ln(|x-2|)]+C$