Question

Calcule a integral


$\displaystyle{\int\int\int_T xy^2z \, dV}$


Sabendo que T é definido por $0 \leq x \leq 1$, $0\leq y\leq x$ e $0\leq z\leq y$

Respostas com brincadeiras ou incompletas e sem explicação serão desconsideradas

Answer 1

Calcular a integral tripla

     $\mathsf{\displaystyle\iiint_T xy^2z\,dV}$


sendo T o sólido definido pela interseção das seguintes desigualdades:

     $\mathsf{0\le x\le 1;~~0\le y\le x;~~0\le z\le y.}$


Observe como o sólido T está descrito.

     •  x varia entre extremos constantes. Logo será a última variável a ser integrada.

     •  y varia entre duas funções de x:

        f(x) = 0 ≤ y ≤ x = g(x)

        Então, y será a penúltima variável a ser integrada.


     •  z varia entre duas funções de x e y:

        u(x, y) = 0 ≤ z ≤ y = v(x, y)

        z será a primeira variável a ser integrada.


Logo, vamos integrar na ordem dz dy dx. Aplicando o Teorema de Fubini (integrais iteradas), obtemos

     $\mathsf{\displaystyle\iiint_T xy^2z\,dV}\\\\\\ \mathsf{=\displaystyle\int_0^1\int_0^x\int_0^y xy^2z\,dz\,dy\,dx}\\\\\\ \mathsf{=\displaystyle\int_0^1\int_0^x xy^2 \bigg(\int_0^y z\,dz\bigg)dy\,dx}\\\\\\ \mathsf{=\displaystyle\int_0^1\int_0^x xy^2\cdot \frac{z^2}{2}\bigg|_{z=0}^{z=y}~dy\,dx}\\\\\\ \mathsf{=\displaystyle\int_0^1\int_0^x xy^2\cdot \left(\frac{y^2}{2}-\frac{0^2}{2}\right)dy\,dx}\\\\\\ \mathsf{=\displaystyle\int_0^1\int_0^x xy^2\cdot \frac{y^2}{2}\,dy\,dx}\\\\\\ \mathsf{=\displaystyle\frac{1}{2}\int_0^1\int_0^x xy^4\,dy\,dx}$

     $\mathsf{=\displaystyle\frac{1}{2}\int_0^1 x\bigg(\int_0^x y^4\,dy\bigg)dx}\\\\\\ \mathsf{=\displaystyle\frac{1}{2}\int_0^1 x\cdot \frac{y^5}{5}\bigg|_{y=0}^{y=x}~dx}\\\\\\ \mathsf{=\displaystyle\frac{1}{2}\int_0^1 x\cdot \left(\frac{x^5}{5}-\frac{0^5}{5}\right)dx}\\\\\\ \mathsf{=\displaystyle\frac{1}{2}\int_0^1 x\cdot \frac{x^5}{5}\,dx}\\\\\\ \mathsf{=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{5}\int_0^1 x^6\,dx}\\\\\\ \mathsf{=\displaystyle\frac{1}{10}\int_0^1 x^6\,dx}$

     $\mathsf{=\dfrac{1}{10}\cdot \dfrac{x^7}{7}\bigg|_{x=0}^{x=1}}\\\\\\ \mathsf{=\dfrac{1}{10}\cdot \left(\dfrac{1^7}{7}-\dfrac{0^7}{7}\right)}\\\\\\ \mathsf{=\dfrac{1}{10}\cdot \dfrac{1}{7}}$

     $\mathsf{=\dfrac{1}{70}\quad\longleftarrow\quad resposta.}$


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Bons estudos! :-)