Question

Calcule a integral:

$\displaystyle{\int_1^e\left[\left(\dfrac{x}{e}\right)^x+\left(\dfrac{e}{x}\right)^x\right]\cdot\ln(x)\,dx}$
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Answer 1

Olá, bom dia.

Devemos resolver a seguinte integral:

$\displaystyle{\int_1^e\left[\left(\dfrac{x}{e}\right)^x + \left(\dfrac{e}{x}\right)^x\right]\cdot\ln(x)\,dx}$

Primeiro, faça uma substituição $u=\left(\dfrac{x}{e}\right)^x$. Calcule o logaritmo natural em ambos os lados da equação.

$\ln(u)=\ln\left(\left(\dfrac{x}{e}\right)^x\right)$

Aplique as propriedades de logaritmo: $\ln(e)=\log_e(e)=1,~\log_c(a^b)=b\cdot\log_c(a)$ e $\log_c\left(\dfrac{a}{b}\right)=\log_c(a)-\log_c(b)$, satisfeitas as condições de existência.

$\ln(u) = x\cdot\ln\left(\dfrac{x}{e}\right)\\\\\\ \ln(u) = x\cdot(\ln(x)-\ln(e))\\\\\\ \ln(u) = x\ln(x) - x$

Calcule a derivada em ambos os lados da equação em respeito à variável $x$, a fim de encontrar o diferencial $du$

$(\ln(u))'=(x\ln(x) - x)'$

Lembre-se que:

• A derivada de uma função $u=u(x)$ é calculada pela regra da cadeia $(f(u))'=u'\cdot f'(u),~u'=\dfrac{du}{dx}$ e é dita implícita.
• A derivada da função logaritmo natural é dada por: $(\ln(x))'=\dfrac{1}{x}$.
• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções.
• A derivada de um produto é calculada pela regra do produto: $(f(x)\cdot g(x))'=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$.
• A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.

Aplique a regra da cadeia e da soma

$\dfrac{1}{u} \cdot\dfrac{du}{dx}= (x\ln(x))'+(-x)'$

Aplique a regra do produto e da potência

$\dfrac{1}{u}\cdot \dfrac{du}{dx}=(x)'\cdot\ln(x)+x\cdot(\ln(x))'-1$

Calcule as derivadas, multiplique e some os valores

$\dfrac{1}{u}\cdot\dfrac{du}{dx}=\ln(x)+x\cdot\dfrac{1}{x}-1\\\\\\ \dfrac{1}{u}\cdot\dfrac{du}{dx}=\ln(x)$

Multiplique ambos os lados da equação pelo diferencial $dx$

$\dfrac{du}{u}=\ln(x)\,dx$

Observe que este elemento já está presente na integral.

Devemos ainda substituir o outro elemento da soma, porém observe que $\left(\dfrac{e}{x}\right)^x = \dfrac{1}{\left(\dfrac{x}{e}\right)^x}=\dfrac{1}{u}$.

Os limites de integração mudam, de forma que quando $x=1,~u\rightarrow \dfrac{1}{e}$ e quando $x=e,~u\rightarrow 1$.

A integral se torna:

$\displaystyle{\int_{\frac{1}{e}}^1\left(u+\dfrac{1}{u}\right)\cdot\dfrac{du}{u}}$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$\displaystyle{\int_{\frac{1}{e}}^11+\dfrac{1}{u^2}\,du}$

Lembre-se que:

• A integral de uma soma de funções é igual a soma das integrais das funções
• A integral de uma potência é dada pela regra da potência: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1},~n\neq-1}$.
• A integral definida de uma função, contínua em um intervalo $[a,~b]$ é calculada de acordo com o Teorema fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)}$, em que $F(x)$ é a antiderivada de $f(x)$.

Aplique a regra da soma

$\displaystyle{\int_{\frac{1}{e}}^11\,dx+\int_{\frac{1}{e}}^1\dfrac{1}{u^2}\,dx}$

Lembre-se que $1=u^0$ e $\dfrac{1}{u^2}=u^{-2}$ e aplique a regra da potência

$\dfrac{u^{0+1}}{0+1}+\dfrac{u^{-2+1}}{-2+1}~\biggr|_{\frac{1}{e}}^1\\\\\\ u-\dfrac{1}{u}~\biggr|_{\frac{1}{e}}^1$

Aplique os limites de integração

$1-\dfrac{1}{1}-\left(\dfrac{1}{e}-\dfrac{1}{\dfrac{1}{e}}\right)$

Calcule a fração de frações, efetue a propriedade distributiva da multiplicação e some os valores

$1-1-\dfrac{1}{e}+e\\\\\\ e-\dfrac{1}{e}~\checkmark$

Este é o resultado desta integral.