Question

Calcule a integral se seguir
sen(4t)dt​

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{-\dfrac{\cos(4t)}{4}+C,~C\in\mathbb{R}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos a seguinte integral, devemos nos relembrar de algumas técnicas de integração.

Seja a integral:

$\displaystyle{\int \sin(4t)\,dt}$

Faça uma substituição $u=4t$. Derivando ambos os lados para obtermos o diferencial $du$, teremos:

$u'=(4t)'$

Lembre-se que:

• A derivada do produto entre uma constante e uma potência é dada por: $(a\cdot f(x))'=a\cdot f'(x)$.
• A derivada de uma potência é dada por: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.

Aplique a regra da constante e reescreva $u'=\dfrac{du}{dx}$

$\dfrac{du}{dx}=4\cdot t'$

Aplique a regra da potência

$\dfrac{du}{dx}=4$

Multiplique ambos os lados pelo diferencial $dx$

$du=4\,dx$

Isole $dx$

$dx=\dfrac{du}{4}$

Substituindo estes dados na integral, teremos:

$\displaystyle{\int \sin(u)\cdot\dfrac{du}{4}$

Para calcular esta integral, lembre-se que:

• A integral do produto entre uma constante e uma função é igual ao produto entre a constante e a integral da função: $\displaystyle{\int a\cdot f(x)\,dx=a\cdot \int f(x)\,dx$.
• A integral da função seno é o oposto da função cosseno: $\displaystyle{\int \sin(x)\,dx=-\cos(x)+C$.

Aplique a regra da constante

$\displaystyle{\dfrac{1}{4}\cdot\int \sin(u)\,du$

Calcule a integral da função cosseno

$\dfrac{1}{4}\cdot(-\cos(u)+C_1)$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$-\dfrac{\cos(4t)}{4}+\dfrac{C_1}{4}$

Reescreva $\dfrac{C_1}{4}=C$, assim teremos:

$-\dfrac{\cos(4t)}{4}+C,~C\in\mathbb{R}$

Este é o resultado desta integral.