Question

Calcule a integral Sc y dx+ z dy+ x dz onde C é dada por
x(t)= t^2 y(t)= t^3, 0<= t <= 1. z(t) = t^2

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\dfrac{3}{2}~~\checkmark}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para calcularmos a seguinte integral de linha, devemos nos relembrar de algumas propriedades.

Seja a integral de linha:

$\displaystyle{\int_C y\,dx+z\,dy+x\,dz$, em que $C$ é definido por $\begin{cases}x(t)=t^2\\y(t)=t^3\\ z(t)=t^2\\\end{cases}~0\leq t\leq 1$.

Devemos calcular as derivadas em respeito á variável $t$, para encontrarmos os diferenciais:

$\dfrac{dx}{dt}=2t\\\\\\ \dfrac{dy}{dt}=3t^2\\\\\\ \dfrac{dz}{dt}=2t$

Multiplique ambos os lados das equações por $dt$

$dx=2t\,dt\\\\\\ dy=3t^2\,dt\\\\\\ dz=2t\,dt$

Substituindo estes dados na integral de linha, teremos:

$\displaystyle{\int_0^1t^3\cdot2t\,dt+t^2\cdot 3t^2\,dt+t^2\cdot 2t\,dt$

Multiplique os valores e fatore o diferencial $dt$

$\displaystyle{\int_0^15t^4+2t^3\,dt$

Lembre-se que:

• A integral de uma soma de funções é igual a soma das integrais das funções.
• A integral do produto entre uma constante e uma função é dada por: $\displaystyle{\int a\cdot f(x)\,dx=a\cdot \int f(x)\,dx$.
• A integral de uma potência é dada por: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1},~n\neq-1$.
• A integral definida de uma função contínua em um intervalo fechado $[a,~b]$ é calculada de acordo com o Teorema fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int_a^bf(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)$.

Calcule a integral

$t^5+\dfrac{t^4}{2}~\biggr|_0^1$

Aplique os limites de integração

$1^5+\dfrac{1^4}{2}-\left(0^5+\dfrac{0^4}{2}\right)$

Calcule as potências e some as frações

$1+\dfrac{1}{2}\\\\\\ \dfrac{3}{2}$

Este é o resultado desta integral de linha.