Question

Calcule a integral ∫ s e n 3 ( 2 x ) d x

Answer 1

• A solução dessa integral se encontra no final da resolução.

Para resolver integrais desse tipo: $\displaystyle\begin{aligned} \int \sin ^n dx\end{aligned}$  e  $\displaystyle\begin{aligned} \int \cos ^n dx\end{aligned}$ , temos um macete muito joinha. Dado por:

 

$\large\displaystyle\begin{aligned} \begin{cases}se\ n\ for\ \acute{i}mpar \Rightarrow \sin^2 + \cos^2 = 1 \\ se\ n\ for \ par \Rightarrow \begin{cases} \sin ^2 = \frac{1- \cos(2x)}{2}\\ \cos^2 = \frac{1+\cos(2x) }{2}\end{cases}\end{cases}\end{aligned}$

Dada sua integral: $\displaystyle\begin{aligned} \int \sin ^3(2x) dx\end{aligned}$, temos que n é ímpar. Mas antes de aplicar esse macete, perceba que temos uma "pedrinha no caminho" que seria o 2x. Logo, teremos que aplicar o método da substituição simples antes de aplicar o macete. Ficando:

$\large \displaystyle\begin{aligned} \int \sin ^3(2x) dx = \begin{cases} u\rightarrow 2x\\ du\rightarrow 2dx\\ \frac{du}{2} \rightarrow dx\end{cases}\end{aligned}$

$\large \displaystyle\begin{aligned} \int \sin ^3(2x) dx = \int \sin^3(u) \cdot \frac{du}{2}\end{aligned}$

$\large \displaystyle\begin{aligned} \int \sin ^3(2x) dx = \frac{1}{2}\cdot \int \sin^3(u) \cdot du\end{aligned}$

• Perceba que agora, caimos naquele macete top que eu havia dito. Então sin bora aplicar ele!

$\large \displaystyle\begin{aligned} \int \sin ^3(2x) dx = \frac{1}{2}\cdot \int \sin^3(u) \cdot du\end{aligned}$

$\large \displaystyle\begin{aligned} \int \sin ^3(2x) dx = \frac{1}{2}\cdot \int \sin^2(u)\cdot sin(u) \cdot du\end{aligned}$

$\large \displaystyle\begin{aligned} \int \sin ^3(2x) dx = \frac{1}{2}\cdot \int ( 1-\cos ^2(u))\cdot \sin(u)\cdot du\end{aligned}$

Olha que incrível! Teremos que aplicar a substituição simples mais uma vez rsssss. Vamos então escolher uma variável aleatória, tipo o z. Tanto faz. Logo:

$\large \displaystyle\begin{aligned} \int \left(1-\cos^2(u)\right) \cdot \sin(u) \cdot du = \begin{cases} z\rightarrow \cos(u)\\ dz\rightarrow -\sin(u) du\\ -dz \rightarrow \sin(u) du\end{cases}\end{aligned}$

$\large \displaystyle\begin{aligned} \int \sin ^3(2x) dx = \frac{1}{2}\cdot \int ( 1- z^2)\cdot (-dz)\end{aligned}$

$\large \displaystyle\begin{aligned} \int \sin ^3(2x) dx = -\frac{1}{2}\cdot \int ( 1- z^2)\cdot dz\end{aligned}$

$\large \displaystyle\begin{aligned} \int \sin ^3(2x) dx = -\frac{1}{2}\cdot \left( z- \frac{z^3}{3}\right) + k\end{aligned}$

$\large \displaystyle\begin{aligned} \int \sin ^3(2x) dx = \left(-\frac{z}{2} +\frac{z^3}{6}\right) + k\end{aligned}$

Lembrando que temos que mudar para a variável. Logo:

$\large \displaystyle\begin{aligned} \int \sin ^3(2x) dx = \left(-\frac{z}{2}+\frac{z^3}{6}\right) + k\end{aligned}$

$\large \displaystyle\begin{aligned} \int \sin ^3(2x) dx = \left(-\frac{\cos(u)}{2} +\frac{\cos^3(u)}{6}\right) + k\end{aligned}$

$\large \displaystyle\text{ \begin{aligned} \therefore \boxed{\boxed{\green{\int \sin ^3(2x) dx = \left(-\frac{\cos(2x)}{2} +\frac{\cos^3(2x)}{6}\right) + k\ ,\ k \in \mathbb{R}}}}\end{aligned} }$

Veja mais sobre:

Integrais trigonométricas.

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