Question

Calcule a integral por substituição e verifique por diferenciação

Answer 1

OBS.: Acho que há um erro na questão: está escrito dt ao invés de dx. Se for proposital, ${(2x+6)}^5$ é constante em relação a t, então a integral seria

${(2x+6)}^5\cdot t+C$

Explicação passo a passo:

Faça a substituição $u=2x+6$

A integral está em termos de $x$, vamos escrevê-la em termos de $u$. Para isso, temos que escrever $dx$ em termos de $du$:

$u=2x+6\Longrightarrow \dfrac{du}{dx}=\dfrac{d}{dx}(2x+5)=2\\\\ \Longrightarrow dx=\dfrac{du}{2}$

Logo, temos

$\displaystyle\int{{(2x+6)}^5}\,dx=\displaystyle\int{u^5}\,\dfrac{du}{2}=\dfrac{u^6}{6}\cdot\dfrac{1}{2}+C\\\\ =\dfrac{u^6}{12}+C=\dfrac{{(2x+6)}^6}{12}+C$

Basta derivar a expressão $\frac{{(2x+6)}^6}{12}$ em relação a $x$, e você verá que a derivada é igual a ${(2x+6)}^5$.

Answer 2

✅ Dada a função $\rm g(x) = \left(2x + 6\right)^5$, sua integral indefinida é dada por $\rm \tfrac{(2x + 6)^6}{12} + \mathbb{C}$. Ao diferenciar, retornamos a função original $\rm g(x) = \left(2x + 6\right)^5$

 

⚠️ Irei considerar a integração em relação a variável $\rm x$.

 

☁️ O processo de primitivação ( resolução de uma integral indefinida ) é definido como uma antiderivação

$\Large \underline{\boxed{\boxed{\displaystyle\rm\qquad \int g(x) \, dx = G(x) \Leftrightarrow G'(x) = g(x) \qquad}}}$

 

❏ Observe o que a definição diz: “A integral indefinida de uma função $\rm g$ é uma outra função $\rm G$, tal que ao derivar $\rm G$ retorna-se a função $\rm g$.”

 

ℹ️ Integrar nem sempre é uma tarefa fácil, por isso é necessário uma bagagem de manipulações algébricas visando simplificar a expressão a qual seja trivial encontrar a primitiva.

 

✍️ Bora lá então!

❏ Observe a integral

$\large\begin{array}{lr}\displaystyle\rm \int \left(2x+6\right)^5 \,dx \end{array}$

 

❏ Podemos, por meio de uma troca de variáveis, reduzir a expressão a um polinômio mais convencional, o qual é bem simples de primitivar

$\Large \underline{\boxed{\boxed{\displaystyle\rm\qquad \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} \qquad}}}$

 

❏ Chamemos $\rm s = 2x + 6$, então a diferencial de $\rm s$ é

$\large\begin{array}{lr}\rm ds = \dfrac{d}{dx} \left( 2x + 6 \right)\,dx \\\\\rm ds = 2\,dx \\\\\underline{\boxed{\boxed{\rm \therefore\:dx = \dfrac{ds}{2} }}}\end{array}$

 

❏ Trocando as variáveis na integral e resolvendo, tem-se que:

$\large\begin{aligned}\displaystyle\rm \int \dfrac{s^5}{2} \,ds &= \displaystyle\rm \dfrac{1}{2} \int s^5 \, ds \\\\ &= \displaystyle\rm \dfrac{1}{2}\cdot \frac{s^6}{6} \\\\ &= \displaystyle\rm \frac{s^6}{12} \end{aligned}$

 

❏ Desfazendo a troca de variáveis e somando uma constante para que a família de funções que são primitivas esteja bem definida, obtemos como resultado:

$\large\begin{array}{lr}\red{\underline{\boxed{\boxed{\displaystyle\rm \therefore\: G(x) = \int (2x + 6)^5 \, dx = \frac{(2x + 6)^6}{12} + \mathbb{C} }}}}\end{array}$

 

❏ Ao derivar a integral utilizado a regra da cadeia, temos

$\large\begin{array}{lr}\large\begin{aligned}\rm \dfrac{d}{dx} \left[ \dfrac{(2x + 6)^6}{12} \right] &= \rm \dfrac{1}{12} \cdot \dfrac{d}{dx}\left[ (2x+6)^6 \right] \\\\ &= \rm \dfrac{1}{12} \cdot \left[ 6 \cdot (2x+6)^5 \cdot 2 \right] \\\\ &= \rm \dfrac{1}{\cancel{12}} \left[ \cancel{12} \cdot (2x +6 )^5 \right]\end{aligned}\\\\\red{\underline{\boxed{\boxed{\displaystyle\rm \therefore\: \dfrac{d}{dx} \left[ \int (2x+6)^5 \,dx \right] = (2x+6)^5 }}}} \\\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\blacksquare \end{array}$

 

✔️ Nossa integração foi bem sucedida!

 

❏ Seção de links para complementar o estudo sobre integrais indefinidas, método da substituição de variáveis:

• https://brainly.com.br/tarefa/48478843

$\rule{7cm}{0.01mm}\\\texttt{Bons estudos! :D}\\\rule{7cm}{0.01mm}$