Question

Calcule a integral por substituição de variável

Answer 1

Olá, Para fazer essa integral, faremos a substituição do termo ln x, assim: ln x = u dx/x = du int((√(1+ln x))/x)dx = int(√(1 + u))du = 2/3(1 + u)^(3/2) + k = 2/3(1 + ln x)^(3/2)+ k Espero ter ajudado e perdão pela resolução meio porca

Answer 2

$\displaystyle\int\!\frac{\sqrt{1+\mathrm{\ell n\,}x}}{x}\,dx\\\\\\ =\int\!\sqrt{1+\mathrm{\ell n\,}x}\cdot \frac{1}{x}\,dx~~~~~~\mathbf{(i)}$


Faça a seguinte substituição:

$1+\mathrm{\ell n\,}x=u~~\Rightarrow~~\dfrac{1}{x}\,dx=du$


Substituindo em $\mathbf{(i)},$ a integral fica

$\displaystyle=\int\!\sqrt{u}\,du\\\\\\ =\int\!u^{1/2}\,du\\\\\\ =\frac{u^{(1/2)+1}}{\frac{1}{2}+1}+C\\\\\\ =\frac{u^{3/2}}{\frac{3}{2}}+C\\\\\\ =\frac{2}{3}\,u^{3/2}+C\\\\\\ =\frac{2}{3}\,(1+\mathrm{\ell n\,}x)^{3/2}+C\\\\\\\\ \therefore~~\boxed{\begin{array}{c} \displaystyle\int\!\frac{\sqrt{1+\mathrm{\ell n\,}x}}{x}\,dx=\frac{2}{3}\,(1+\mathrm{\ell n\,}x)^{3/2}+C \end{array}}$


Bons estudos! :-)