Question

Calcule a integral por substituição de variável

Answer 1

$I=\displaystyle\int\!\frac{e^x}{3e^x+1}\,dx\\\\\\ =\int\!\frac{1}{3}\cdot 3\cdot \dfrac{e^x}{3e^x+1}\,dx\\\\\\ =\frac{1}{3}\int\!\dfrac{3e^x}{3e^x+1}\,dx~~~~~~\mathbf{(i)}$


Faça a seguinte substituição:

$3e^x+1=u~~\Rightarrow~~3e^x\,dx=du$


Substituindo, a integral $\mathbf{(i)}$ fica

$\displaystyle=\frac{1}{3}\int\!\dfrac{1}{u}\,du\\\\\\ =\frac{1}{3}\,\mathrm{\ell n}\!\left|u\right|+C\\\\\\ =\frac{1}{3}\,\mathrm{\ell n}\!\left|3e^x+1\right|+C\\\\\\\\ \therefore~~\boxed{\begin{array}{c} \displaystyle\int\!\frac{e^x}{3e^x+1}\,dx=\frac{1}{3}\,\mathrm{\ell n}\big(3e^x+1\big)+C \end{array}}$


Bons estudos! :-)

Answer 2

Olá Lucas!

Façamos o denominador igual a "u"

Veja:

$u = 3e^x+1$

Derivando em ambos o lados em relação a "u"u teremos:

$\\ \frac{d}{du} (u) = \frac{d}{du} (3e^x+1) \\ \\ 1 = (3e^x+0) \frac{dx}{du} \\ \\ 1du = 3e^xdx \\ \\ \frac{du}{3} = e^xdx$

Agora, vamos substituir essas informações lá na integral:

u = 3e× +1 ,  e  du/3 = e×dx
-------------------------------------


$\\ \int\limits { \frac{e^xdx}{3e^x+1} } \, = \int\limits { \frac{ \frac{du}{3} }{u} \ \\ \\ = \frac{1}{3} \int\limits { \frac{du}{u} } \,$

Repare que a propriedade da integral por potência não é válida. Uma vez que:

$\\ \int\limits { \frac{1}{u} } \, du = \int\limits { u^-^1 } \, du$

Para n = -1, usamos a seguinte formula:

$n = -1, \left \{ {{ \int\limits { u^-^1} \, du = Ln|u|} } \right.$

Então, nossa integral será:


$\\ \frac{1}{3} \int\limits u^-^1{} \, du = \frac{1}{3} Ln|u|$

Lembrando que "u" é apenas uma substituição.

$u = 3e^x+1$

Vamos substituir no resultado:

$\\ = \frac{1}{3} Ln|3e^x+1|$

E finalmente, lembrando que não devemos esquecer da constante "k"

$\\ = \\ = \frac{1}{3} Ln|3e^x+1|+K$