Question

Calcule a integral por partes

Answer 1

Olá Lucas!

Vamos achar a derivada de Arctgx

Seja a função "Y = Arctgx

Aplicando "tg em ambos os lados" teremos:


$\\ y = Arctgx \\ \\ Tgy = Tg(Arctgx)$

Como Tg é inversa de Arctg, então podemos cancelar tg e arctg:


$Tg(y) = x$

Derivando implicitamente em relção a "x'' ambos os lados:



$\\ Sec^2y \frac{dx}{dy} = 1 \\ \\ \frac{dx}{dy} = \frac{1}{Sec^2y}$
--------------------------------------------------------

Lembrando que:


$Sec^2y = 1+tg^2y$

Vamos substituir:

$\\ \frac{dx}{dy} = \frac{1}{1+tg^2y}$

Tínhamos também que:
 

$Tg^2y = x$

∵

$\\ \frac{dx}{dy} = \frac{1}{1+x^2}$
---------------------------------------

Agora que sabemos a derivada de "arctg"

vamos a resolução:

Fazendo "u = Arctgx e dv = dx"



$u = Arctgx$

Derivando implicitamente em "u"

$\\ \frac{d}{du} (u) = \frac{d}{du} (arctgx) \\ \\ 1 = \frac{1}{1+x^2} \frac{dx}{du} \\ \\ du = \frac{dx}{1+x^2}$
-------------------------------------------

Nosso dv é:

dv = dx

∫dv = ∫dx

v = x
----------------------------------------

Aplicando a formula de integração por partes:

$\\ \int\limits u {} \, dv = uv - \int\limits {v} \, du \\ \\ = x(Arctgx) - \int\limits { \frac{xdx}{1+x^2} } \,$

A segunda integral iremos resolver por integração simples:

Façamos, "u = 1+x² "

$\\ u = 1+x^2$

Derivando implicitamente em "u"

$\\ \frac{d}{du} (u) = \frac{d}{du} (1+x^2) \\ \\ 1 = (0+2x) \frac{dx}{du} \\ \\ du = 2xdx \\ \\ \frac{du}{2} = xdx$

Agora indo em nossa segunda integral e substituindo as devidas substituições:


$\\ \int\limits { \frac{xdx}{1+x^2} } \, = \int\limits { \frac{ \frac{du}{2} }{u} } \, \\ \\ = \frac{1}{2} \int\limits { \frac{ du }{u} } \,$

Observe que:

$n = -1, faca: \int\limits { \frac{1}{u} } \, du = Ln|u|$

Então ficamos:

$\\ \frac{1}{2} \int\limits { \frac{1}{u} } \, du = \frac{1}{2} Ln|u|$

Substituindo "u por 1+x²"

$\\ \int\limits { \frac{xdx}{1+x^2} } \, = \frac{1}{2} Ln|1+x^2|$

Vamos substituir essa integral lá na maior:

E Lembrando da constante "K"


$\\ \int\limits Arctgx \, dx = x(Arctgx) - \int\limits { \frac{xdx}{1+x^2} } \, \\ \\ \int\limits Arctgx \, dx = x(Arctgx) -\frac{1}{2} Ln|1+x^2| +K$

Answer 2

Olá!
  
    Sejam $u=arctg(x),\;\; dv=1$  . Temos:

$\displaystyle\int{u\;dv}=uv-\displaystyle\int{v\;du} \\ \\ \displaystyle\int{arctg(x)\cdot 1}=arctg(x)\cdot x-\displaystyle \int{x\cdot \dfrac{1}{1+x^2}}dx = \\ \\ = x\cdot arctg(x)-\left[\dfrac{1}{2}\ln (1+x^2)\right] = \\ \\ =x\cdot arctg(x)-\dfrac{1}{2}\ln (1+x^2)+k ,\;\; k\in\mathbb{R}$

Bons estudos!