Question

Calcule a integral Parcial
em anexo
preciso do desenvolvimento

Answer 1

Step 1: Fracción Propia, Divide
         $\dfrac{x^3+x^2+2x+1}{x^3-1}=1+\dfrac{x^2+2x+2}{x^3-1}$

Step 2: Factorización del denominador
         $\dfrac{x^2+2x+2}{x^3-1}=\dfrac{x^2+2x+2}{(x-1)(x^2+x+1)}$

Step 3: Fraciciones parciales
  $\dfrac{x^2+2x+2}{(x-1)(x^2+x+1)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{Bx+C}{x^2+x+1}$

Step 4: Suma
$\dfrac{x^2+2x+2}{(x-1)(x^2+x+1)}=\dfrac{(A+B)x^2 + (A - B + C)x + A - C}{(x-1)(x^2+x+1)}$

Step 5: comparación de numeradores
                 $x^2+2x+2=(A+B)x^2 + (A - B + C)x + A - C$

Step 6: Comparación de coeficientes
                    $A+B=1\\A - B + C=2\\A - C=2$

Step 7: Resolución del sistema de ecuaciones
    $A = \dfrac{5}3\; ,\; B = - \dfrac{2}3\; ,\;C = - \dfrac{1}3$

Step 8: Sustitución de coeficientes en step 3:
$\dfrac{x^2+2x+2}{(x-1)(x^2+x+1)}=\dfrac{5}{3(x-1)}-\dfrac{2x+1}{3(x^2+x+1)}$

Step 9: Presentación de la fracción
    $\dfrac{x^3+x^2+2x+1}{x^3-1}=1+\dfrac{5}{3(x-1)}-\dfrac{2x+1}{3(x^2+x+1)}$

Step 10: Integración
   $\displaystyle \int\dfrac{x^3+x^2+2x+1}{x^3-1}dx=\int1+\dfrac{5}{3(x-1)}-\dfrac{2x+1}{3(x^2+x+1)}dx$

=== Propiedad lineal de la integral y diferencial ====

$\displaystyle \int\dfrac{x^3+x^2+2x+1}{x^3-1}dx=\int1dx+\int\dfrac{5}{3(x-1)}dx-\int\dfrac{2x+1}{3(x^2+x+1)}dx\\ \\ \int\dfrac{x^3+x^2+2x+1}{x^3-1}dx=x+\dfrac{5}{3}\int\dfrac{d(x-1)}{(x-1)}-\dfrac{1}{3}\int\dfrac{d(x^2+x+1)}{x^2+x+1}dx$

=== Tabla ===

$\displaystyle \boxed{\int\dfrac{x^3+x^2+2x+1}{x^3-1}dx=x+\dfrac{5}{3}\ln|x-1|-\dfrac{1}{3}\ln|x^2+x+1|+C}$