Question

Calcule a integral no intervalo de 1 a 2 usando o seguinte integrando x3.ln(x) e depois multiplique por 16.

RESPOSTA: 64ln(2) - 15

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre cálculo integral.

Devemos calcular a seguinte integral:

$I=\displaystyle{\int_1^2x^3\cdot\ln(x)\,dx}$

E ao final, calcular o valor de $16\cdot I$.

Para calcular a integral, utilizaremos a técnica de integração por partes: consiste na fórmula $\displaystyle{\int u\,dv=u\cdot v-\int v\,du}$.

Para escolhermos a função $u$, utilizamos a propriedade LIATE, em que se dá prioridade às funções Logarítmicas, Inversas trigonométricas, Algébricas (potências de $x$), Trigonométricas e Exponenciais, nesta ordem.

Assim, fazemos $u=\ln(x)$ e $dv=x^3\,dx$.

Diferenciamos a expressão em $u$ e integramos a expressão em $dv$

$(u)'=(\ln(x))'\\\\\\ \displaystyle{\int dv=\int x^3\,dx}$

Calcule a derivada, sabendo que $u'=\dfrac{du}{dx}$ e $(\ln(x))'=\dfrac{1}{x}$. Calcule a integral, sabendo que $\displaystyle{\int dv=v}$ e $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C}$.

$\dfrac{du}{dx}=\dfrac{1}{x}\\\\\\ v=\dfrac{x^{3+1}}{3+1}$

Multiplique ambos os lados da primeira expressão pelo diferencial $dx$ e some os valores no expoente e denominador da segunda expressão:

$du=\dfrac{dx}{x}\\\\\\ v=\dfrac{x^4}{4}$

Substituindo estes elementos na fórmula, teremos:

$I=\displaystyle{\int_1^2 x^3\cdot\ln(x)\,dx=\ln(x)\cdot \dfrac{x^4}{4}-\int \dfrac{x^4}{4}\cdot\dfrac{dx}{x}~\biggr]_1^2}$

Multiplique os termos

$I=\displaystyle{\dfrac{x^4\cdot\ln(x)}{4}-\int \dfrac{x^3}{4}\cdot\,dx~\biggr]_1^2}$

Aplique a regra da constante: $\displaystyle{\int c\cdot f(x)\,dx=c\cdot\int f(x)\,dx}$ e aplique novamente a regra da potência

$I=\displaystyle{\dfrac{x^4\cdot\ln(x)}{4}-\dfrac{1}{4}\cdot\int x^3\,dx~\biggr]_1^2}\\\\\\ I=\dfrac{x^4\cdot\ln(x)}{4}-\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{x^4}{4}~\biggr]_1^2$

Multiplique os valores e aplique os limites de integração, de acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx =F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)}$.

$I=\dfrac{x^4\cdot\ln(x)}{4}-\dfrac{x^4}{16}~\biggr]_1^2\\\\\\ I=\dfrac{2^4\cdot \ln(2)}{4}-\dfrac{2^4}{16}-\left(\dfrac{1^4\cdot\ln(1)}{4}-\dfrac{1^4}{16}\right)$

Calcule as potências e lembre-se que $\ln(1)=0$

$I=\dfrac{16\cdot\ln(2)}{4}-\dfrac{16}{16}-\left(\dfrac{1\cdot0}{4}-\dfrac{1}{16}\right)$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação e simplifique as frações

$I=4\ln(2)-1-0+\dfrac{1}{16}$

Some as frações

$I=\dfrac{16\cdot 4\ln(2)-16\cdot1+1}{16}\\\\\\ I=\dfrac{64\ln(2)-15}{16}$

Então, calcule $16\cdot I$

$16\cdot I=16\cdot \dfrac{64\ln(2)-15}{16}$

Simplifique a fração

$16I=64\ln(2)-15~~\checkmark$

Este é o valor que buscávamos.

Answer 2

Resposta:

64ln(2) -  15

Explicação passo-a-passo: