Question

calcule a integral no intervalo de 0 a 1 usando o seguinte integrando tg(x).sen(x)​

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre cálculo integral.

Devemos calcular a seguinte integral, de acordo com os dados do enunciado:

$\displaystyle{\int_0^1 \tan(x)\cdot \sin(x)\,dx}$

Primeiro, transforme $\tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}$, de modo que tenhamos:

$\displaystyle{\int_0^1 \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}\cdot \sin(x)\,dx}\\\\\\\displaystyle{\int_0^1 \dfrac{\sin^2(x)}{\cos(x)}\,dx}$

Transformamos $\sin^2(x)=1-\cos^2(x)$

$\displaystyle{\int_0^1 \dfrac{1-\cos^2(x)}{\cos(x)}\,dx}$

Separamos a fração como uma soma de frações

$\displaystyle{\int_0^1 \dfrac{1}{\cos(x)}-\dfrac{\cos^2(x)}{\cos(x)}\,dx}\\\\\\ \displaystyle{\int_0^1 \sec(x)-\cos(x)\,dx}$

Aplique a regra da soma

$\displaystyle{\int_0^1\sec(x)\,dx-\int_0^1\cos(x)\,dx}$

Calcule a segunda integral, sabendo que $\displaystyle{\int \cos(x)\,dx=\sin(x)}$ e $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)}$

$\displaystyle{\int_0^1\sec(x)\,dx-\sin(x)~\biggr|_0^1}\\\\\\ \displaystyle{\int_0^1\sec(x)\,dx-\sin(1)+\sin(0)}\\\\\\ \displaystyle{\int_0^1\sec(x)\,dx-\sin(1)}$

Multiplique o integrando da primeira integral por um fator $\dfrac{\sec(x)+\tan(x)}{\sec(x)+\tan(x)}$, de modo que tenhamos:

$\displaystyle{\int_0^1\sec(x)\cdot\dfrac{\sec(x)+\tan(x)}{\sec(x)+\tan(x)}\,dx-\sin(1)}\\\\\\\displaystyle{\int_0^1\dfrac{\sec^2(x)+\sec(x)\tan(x)}{\sec(x)+\tan(x)}\,dx-\sin(1)}$

Faça uma substituição $u=\sec(x)+\tan(x)$. Diferenciando ambos os lados da igualdade, teremos: $(u)'=(\sec(x)+\tan(x))'\Rightarrow du=\sec(x)\tan(x)+\sec^2(x)\,dx$. Também alteramos os limites de integração: quando $x\rightarrow0,~u\rightarrow 1$ e quando $x\rightarrow1,~u\rightarrow \sec(1)+\tan(1)$.

Assim, teremos:

$\displaystyle{\int_1^{\sec(1)+\tan(1)}\dfrac{1}{u}\,du-\sin(1)}$

Calcule a integral, sabendo que $\displaystyle{\int \dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C}$

$\ln|u|~\biggr|_1^{\sec(1)+\tan(1)}-\sin(1)$

Aplique os limites de integração

$\ln|\sec(1)+\tan(1)|-\ln|1|-\sin(1)\\\\\\ \ln(\sec(1)+\tan(1))-\sin(1)\\\\\\ \approx 0.384720~\bold{u.~a}~~\checkmark$

Este é o resultado desta integral, com argumentos em radianos.